[论文解读] Finite Sample Smeariness of Fréchet Means and Application to Climate

Shayan Hundrieser, Benjamin Eltzner+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2020

Statistical Methods and Inference参考文献 31被引用 11

一句话总结

本文引入了有限样本弥散性（FSS），这是一种在圆周和环面等非欧几里得空间中，弗雷chet样本均值表现出非标准收敛速率的现象，导致基于分位数的推断方法失效。作者提出了基于自展法的检验方法以校正FSS的影响，通过风向数据的实证分析表明，FSS会导致分位数检验出现虚假显著性，而自展法方法则能保持名义上的第一类错误率，并仅揭示出少数真正异常的年份。

ABSTRACT

Fréchet means on non-Euclidean spaces may exhibit nonstandard asymptotic rates rendering quantile-based asymptotic inference inapplicable. We show here that this affects, among others, all circular distributions whose support exceeds a half circle. We exhaustively describe this phenomenon and introduce a new concept which we call finite samples smeariness (FSS). In the presence of FSS, it turns out that quantile-based tests for equality of Fréchet means systematically feature effective levels higher than their nominal level which perseveres asymptotically in case of Type I FSS. In contrast, suitable bootstrap-based tests correct for FSS and asymptotically attain the correct level. For illustration of the relevance of FSS in real data, we apply our method to directional wind data from two European cities. It turns out that quantile based tests, not correcting for FSS, find a multitude of significant wind changes. This multitude condenses to a few years featuring significant wind changes, when our bootstrap tests are applied, correcting for FSS.

研究动机与目标

• 识别并表征在非欧几里得流形（如圆周和环面）上弗雷chet样本均值的有限样本弥散性（FSS）现象。
• 证明在FSS存在下，基于分位数的标准检验方法在检验弗雷chet均值相等性时失效，导致第一类错误率被系统性地高估。
• 开发并验证基于自展法的推断方法，使其在FSS条件下能渐近保持名义显著性水平。
• 将所提方法应用于巴塞尔与哥廷根的实际风向数据，评估风向模式变化的气候学显著性。
• 通过校正现有检验中由FSS引起的虚假显著性，明确指出哪些年份真正表现出显著的风向变化。

提出的方法

• 定义方差调制因子 $\mathfrak{m}_n = \frac{n\mathbb{E}[d(\mu,\widehat{\mu}_n)^2]}{\mathbb{E}[d(\mu,X)^2]}$，以量化弗雷chet样本均值相对于总体均值的收敛速率。
• 提出两种新现象：I型FSS（$\lim_{n\to\infty}\mathfrak{m}_n > 1$）与II型FSS（$\lim_{n\to\infty}\mathfrak{m}_n = 1$），二者在所有 $n$ 下均满足 $\mathfrak{m}_n > 1$。
• 提出基于自展法的两样本检验（检验4.4），在原假设下重采样弗雷chet均值，以近似抽样分布，而无需依赖渐近正态性。
• 将自展检验应用于 $\mathbb{T}^2$ 和 $\mathbb{S}^1$ 上的方向风数据，使用 $B=1000$ 个自展重抽样来估计p值。
• 采用Benjamini-Hochberg校正方法控制每座城市190对比较中的假发现率，确保多重检验的稳健性。
• 比较基于分位数的检验（检验4.1）与基于自展法的检验（检验4.4）的结果，以识别由FSS引起的虚假阳性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些圆周分布表现出有限样本弥散性（FSS）？FSS如何影响弗雷chet样本均值的渐近行为？
• RQ2 在非欧几里得空间中，FSS在多大程度上使基于分位数的标准检验方法失效，以检验弗雷chet均值相等性？
• RQ3 基于自展法的检验能否校正FSS，并在方向数据分析中渐近保持名义第一类错误率？
• RQ4 在现实气候数据中，如欧洲城市风向时间序列，FSS如何表现？
• RQ5 在校正FSS引起的虚假显著性后，哪些具体年份真正表现出显著的风向变化？

主要发现

• 所有具有处处非零密度的圆周分布（如费雪-冯-米塞斯分布和Wrapped正态分布）均表现出有限样本弥散性（FSS），且对所有 $n$ 均满足 $\mathfrak{m}_n > 1$。
• 在FSS条件下，基于分位数的弗雷chet均值相等性检验系统性地导致第一类错误率膨胀，当 $n=10,000$ 时，经验拒绝率最高可达0.876。
• 基于自展法的检验（检验4.4）能保持名义5%的显著性水平，其经验拒绝率在所有样本大小下均稳定在约0.05附近。
• 在巴塞尔与哥廷根的风向数据中，基于分位数的检验识别出超过100对显著差异，而自展检验将其减少至仅四年的显著差异（2003年、2005年、2017年、2018年）。
• 在校正FSS后，2017年与2018年仍为显著异常年份，与已知的与持续的波7型风模式相关的气候热浪事件一致。
• 2010年曾被分位数检验错误地标记为高度显著，但在自展检验下不再显著，证实FSS是虚假结果的根源。