[论文解读] Manifolds of Projective Shapes

Thomas Hotz, Florian Kelma+1 more|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Feb 13, 2016

Morphological variations and asymmetry参考文献 10被引用 15

一句话总结

本文提出了一套系统框架，用于在射影形状空间内构建可微的、Hausdorff 的黎曼流形，克服了自由形状子空间无法满足 Hausdorff 性质的问题。通过将射影框架推广为伪框架，并引入由射影子空间数界定的拓扑子空间，作者将 Tyler 正则形状识别为一个最大、具有几何动机的流形，其上自然地赋予了黎曼度量，方法是通过 Tyler 标准化实现。

ABSTRACT

The projective shape of a configuration of k points or "landmarks" in RP(d) consists of the information that is invariant under projective transformations and hence is reconstructable from uncalibrated camera views. Mathematically, the space of projective shapes for these k landmarks can be described as the quotient space of k copies of RP(d) modulo the action of the projective linear group PGL(d). Using homogeneous coordinates, such configurations can be described as real k-times-(d+1)-dimensional matrices given up to left-multiplication of non-singular diagonal matrices, while the group PGL(d) acts as GL(d+1) from the right. The main purpose of this paper is to give a detailed examination of the topology of projective shape space, and, using matrix notation, it is shown how to derive subsets that are in a certain sense maximal, differentiable Hausdorff manifolds which can be provided with a Riemannian metric. A special subclass of the projective shapes consists of the Tyler regular shapes, for which geometrically motivated pre-shapes can be defined, thus allowing for the construction of a natural Riemannian metric.

研究动机与目标

• 为解决在射影形状空间中缺乏系统构建黎曼流形的方法这一问题，该方法对基于度量的计算机视觉形状分析至关重要。
• 解决自由形状子空间（平凡自旋子群）为 T1 流形但非 Hausdorff 的拓扑问题，这与仿射或相似形状空间不同。
• 识别并表征满足以下性质的拓扑子空间：是可微的 Hausdorff 流形，对重标记封闭，尊重射影子空间约束的层次结构，且为极大子集。
• 为众所周知的 Tyler 正则形状提供几何解释和黎曼度量，后者是射影形状的一个关键子类。
• 建立 Tyler 正则形状上黎曼度量为完备且可延拓至更大子空间的条件，若可能则实现延拓。

提出的方法

• 引入伪框架的概念以推广射影框架，使得即使在不存在射影框架的情况下，也能在自由形状子空间上构建局部坐标图。
• 定义由射影子空间数界定的拓扑子空间，这些子空间是极大的，并满足诸如对重标记封闭和尊重层次结构等理想性质。
• 将配置表示为 $k \times (d+1)$ 实矩阵，模去非奇异对角矩阵的左乘作用，并考虑 $\mathrm{GL}(d+1)$ 的右作用。
• 对 Tyler 正则形状应用 Tyler 标准化，将其映射到格拉斯曼商空间中的对称半正定矩阵，从而实现黎曼度量的构造。
• 通过将 $\mathfrak{so}(k)$ 上的标准度量限制在满足 $[\mathcal{P}_P, A] = 0$ 的切空间上，推导出 Tyler 正则形状空间上的黎曼度量。
• 表征黎曼度量为完备的条件，以及在可分解配置上存在非平凡群作用时，向更大子空间延拓失败的原因。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自由形状子空间不满足 Hausdorff 性质的前提下，能否在射影形状空间内构建一个可微的、Hausdorff 的黎曼流形？
• RQ2 何种几何与拓扑条件可确保射影形状的某个拓扑子空间是可微的 Hausdorff 流形，且对重标记封闭，尊重子空间层次结构？
• RQ3 如何对 Tyler 正则形状上的黎曼度量进行几何解释并系统推导？
• RQ4 在何种条件下，Tyler 正则形状空间上的黎曼度量可延拓至更大的拓扑子空间，以及在何种情况下会失败？
• RQ5 当不存在射影框架时，伪框架在构建自由形状子空间的局部坐标图中起到何种作用？

主要发现

• 自由形状子空间（平凡自旋子群）是可微的 T1 流形，但不是 Hausdorff 的，因此无法赋予黎曼结构。
• 伪框架推广了射影框架，使得即使在无射影框架的情况下，也能在自由形状子空间上构建局部坐标图。
• 由射影子空间数界定的拓扑子空间是可微的 Hausdorff 流形，当且仅当每个射影子空间中的点数不超过该子空间维数加一。
• Tyler 正则形状构成一个最大、可微的 Hausdorff 流形，对重标记封闭，并尊重射影子空间约束的层次结构。
• Tyler 正则形状上的黎曼度量源自 $\mathfrak{so}(k)$ 上的标准度量，限制在与投影矩阵 $\mathcal{P}_P$ 交换的切空间上，其几何合理性通过 Tyler 标准化得以解释。
• 当存在可分解的 Tyler 标准化形状时，Tyler 正则形状空间上的黎曼度量不完备，且由于非自由群作用引起的零距离奇点，无法向更大子空间延拓。