[论文解读] Finite size effect on dynamical entanglement entropy: CFT and holography

Gautam Mandal, Ritam Sinha+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 46被引用 11

一句话总结

本论文研究了在量子淬火后，具有空间边界的二维共形场论（CFT）中动力学纠缠熵（EE）的有限尺寸效应。利用共形场论与全息对偶，论文表明EE表现出周期性 revival，周期为 $ L $，热化至由初始态温度 $ 1/eta $ 决定的值，并且在大中心电荷极限下，CFT的EE变得普遍，且与全息EE完全一致。对应的全息背景几何根据 $ L/eta $ 比值在BTZ黑洞与全局AdS之间插值。

ABSTRACT

Time-dependent entanglement entropy (EE) is computed for a single interval in two-dimensional conformal theories from a quenched initial state in the presence of spatial boundaries. The EE is found to be periodic in time with periodicity equal to the system size $L$. For large enough $L$, the EE shows a rise to a thermal value (characterized by a temperature $1/β$ determined by the initial state), followed by periodic returns to the original value. This works irrespective of whether the conformal field theory (CFT) is rational or irrational. For conformal field theories with a holographic dual, the large $c$ limit plays an essential role in ensuring that the EE computed from the CFT is universal (independent of the details of the CFT and of boundary conditions) and is exactly matched by the holographic EE. The dual geometry is computed and it interpolates between a BTZ black hole at large $L$ and global AdS at large $β$.

研究动机与目标

• 理解空间边界与有限系统尺寸 $ L $ 如何影响二维CFT中量子淬火后纠缠熵（EE）的时间演化。
• 研究有限系统中动力学EE是否表现出周期性revival与热化，特别是针对有理与无理CFT。
• 建立在大中心电荷（$ c \to \infty $）极限下EE的普遍性，并证明其与全息计算结果精确匹配。
• 推导大 $ c $ 极限下的全息对偶几何，揭示其根据 $ L/\beta $ 比值在BTZ黑洞与全局AdS之间插值。

提出的方法

• 通过共形映射将具有边界的有限空间区间映射到上半平面，从而在条带上的路径积分中计算时间有序相关函数与EE。
• 应用镜像法以在CFT相关函数与纠缠熵计算中考虑边界效应。
• 利用大 $ c $ 极限确保EE的普遍性，使其独立于CFT细节与边界条件。
• 通过CFT的大 $ c $ 极限推导全息对偶几何，其度规根据 $ L/\beta $ 比值在BTZ黑洞（大 $ L $）与全局AdS（大 $ \beta $）之间插值。
• 在全息背景下利用Ryu-Takayanagi公式计算纠缠熵，其结果在大 $ c $ 极限下与CFT结果精确匹配。
• 通过共形bootstrap技术分析不同区域中EE的时间演化：大 $ L/\beta $（热化与周期性）、低 $ L/\beta $（高温）及普遍极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 空间边界的引入如何影响二维CFT在量子淬火后纠缠熵的时间演化？
• RQ2 在有限系统中，纠缠熵是否表现出周期性revival？如果是，revival周期由什么决定？
• RQ3 在何种条件下，CFT中的动力学纠缠熵变得普遍并匹配全息预测？
• RQ4 在大中心电荷极限下，其对偶全息几何是什么？它如何根据 $ L/\beta $ 比值在BTZ黑洞与全局AdS之间插值？
• RQ5 在有限边界与周期性边界条件下，纠缠传播的准粒子图像如何调整？

主要发现

• 纠缠熵（EE）在时间上具有周期性，周期为 $ L $，即系统尺寸，无论CFT是有理还是无理的。
• 在大 $ L $ 情况下，EE首先上升至由初始态温度 $ 1/\beta $ 决定的热化值，随后周期性地返回初始值，表明存在热化与revival现象。
• 在大中心电荷（$ c \to \infty $）极限下，CFT的EE变得普遍，并与全息EE精确匹配，从而在该动力学设置下验证了AdS/CFT对应关系。
• 对偶全息几何根据 $ L/\beta $ 比值在BTZ黑洞（大 $ L $ 极限）与全局AdS（大 $ \beta $ 极限）之间插值。
• 在高温极限下（$ L/\beta \gg t/\beta \gg 1 $），一阶算符期望值的衰减率与无限条带结果一致，证实其与已知热化速率的一致性。
• 全息纠缠熵（hEE）继承了CFT EE的周期性，且hEE的时间演化由与CFT相同的共形结构控制，在大 $ c $ 极限下实现精确匹配。