[论文解读] The Entanglement Renyi Entropies of Disjoint Intervals in AdS/CFT

Thomas Faulkner|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 42被引用 145

一句话总结

本文通过反 de Sitter/共形场论（AdS/CFT）对应关系，利用复制技巧和三维引力中光滑、复制对称的旋-handlebody 解，计算了具有经典引力对偶的 1+1D 共形场理论中不相交区间之间的纠缠 R\'enyi 熵（EREs）。作者推导出一种针对正则化经典作用量的简单规则，该规则在牛顿常数的主导阶下给出 EREs。该方法在 n → 1 的极限下重现了 Ryu-Takayanagi 公式。

ABSTRACT

We study entanglement Renyi entropies (EREs) of 1+1 dimensional CFTs with classical gravity duals. Using the replica trick the EREs can be related to a partition function of n copies of the CFT glued together in a particular way along the intervals. In the case of two intervals this procedure defines a genus n-1 surface and our goal is to find smooth three dimensional gravitational solutions with this surface living at the boundary. We find two families of handlebody solutions labelled by the replica index n. These particular bulk solutions are distinguished by the fact that they do not spontaneously break the replica symmetries of the boundary surface. We show that the regularized classical action of these solutions is given in terms of a simple numerical prescription. If we assume that they give the dominant contribution to the gravity partition function we can relate this classical action to the EREs at leading order in G_N. We argue that the prescription can be formulated for non-integer n. Upon taking the limit n -> 1 the classical action reproduces the predictions of the Ryu-Takayanagi formula for the entanglement entropy.

研究动机与目标

• 计算具有经典引力对偶的 1+1D 共形场理论中不相交区间的纠缠 R\'enyi 熵（EREs）
• 识别对应于边界上两个不相交区间复制构造的光滑、复制对称的三维引力解
• 推导这些解的正则化经典作用量的一般规则，适用于非整数复制指数 n
• 证明这些解的经典作用量在 n → 1 的极限下重现 Ryu-Takayanagi 公式
• 建立一种基于引力的 ERE 计算方法，该方法将最小曲面规则推广至非整数 n 和多个区间

提出的方法

• 对边界 CFT 应用复制技巧，将 EREs 的计算映射为在通过沿不相交区间粘合 n 个 CFT 复本形成的亏格 n−1 黎曼面上的配分函数计算
• 构建一族光滑、具有旋-handlebody 结构的三维 AdS 空间引力解，其边界为亏格 n−1 的曲面，并保持复制对称性
• 计算这些解的正则化经典作用量，并证明其遵循一种与具体几何无关的简单数值规则
• 通过解析延拓将该规则推广至非整数复制指数 n 的情况
• 通过将经典作用量与引力路径积分中的配分函数关联，获得 ERE 的主导阶贡献
• 证明该作用量在 n → 1 极限下重现了纠缠熵的 Ryu-Takayanagi 公式

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 AdS/CFT 对应关系，计算具有经典引力对偶的 1+1D CFT 中两个不相交区间的纠缠 R\'enyi 熵？
• RQ2 在边界上实现两个不相交区间复制构造的光滑 3D 引力解具有哪些性质？
• RQ3 能否为这些复制对称的体引力解的正则化经典作用量推导出一种简单且普适的规则？
• RQ4 这些解的经典作用量如何与 G_N 的主导阶下的纠缠 R\'enyi 熵相关联？
• RQ5 所提出的规则在 n → 1 极限下是否退化为 Ryu-Takayanagi 公式？

主要发现

• 作者在三维引力中识别出两类不同的光滑、复制对称的旋-handlebody 解，它们对应于边界上两个不相交区间的复制构造
• 这些解的正则化经典作用量由一种仅依赖于拓扑而不依赖于区间具体嵌入方式的简单数值规则给出
• 该规则适用于非整数复制指数 n，从而支持向纠缠熵极限的解析延拓
• 在 n → 1 的极限下，经典作用量重现了 Ryu-Takayanagi 公式对纠缠熵的描述
• 在 G_N 的主导阶下，这些复制对称解主导了纠缠 R\'enyi 熵的贡献，支持其物理相关性