[论文解读] Finite Volume Neural Network: Modeling Subsurface Contaminant Transport

Timothy Praditia, Matthias Karlbauer+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 13被引用 11

一句话总结

该论文提出有限体积神经网络（FINN），一种物理信息深度学习框架，将有限体积法的守恒结构与神经网络相结合，用于模拟地下污染物运移。FINN 能够在数据稀疏或不完整的情况下，实现对时空浓度场的精确、可泛化的预测，同时显式学习如阻滞因子等本构关系，其在不同边界条件下的准确性和鲁棒性均优于标准神经网络和数值PDE模型。

ABSTRACT

Data-driven modeling of spatiotemporal physical processes with general deep learning methods is a highly challenging task. It is further exacerbated by the limited availability of data, leading to poor generalizations in standard neural network models. To tackle this issue, we introduce a new approach called the Finite Volume Neural Network (FINN). The FINN method adopts the numerical structure of the well-known Finite Volume Method for handling partial differential equations, so that each quantity of interest follows its own adaptable conservation law, while it concurrently accommodates learnable parameters. As a result, FINN enables better handling of fluxes between control volumes and therefore proper treatment of different types of numerical boundary conditions. We demonstrate the effectiveness of our approach with a subsurface contaminant transport problem, which is governed by a non-linear diffusion-sorption process. FINN does not only generalize better to differing boundary conditions compared to other methods, it is also capable to explicitly extract and learn the constitutive relationships (expressed by the retardation factor). More importantly, FINN shows excellent generalization ability when applied to both synthetic datasets and real, sparse experimental data, thus underlining its relevance as a data-driven modeling tool.

研究动机与目标

• 解决标准深度学习模型在时空物理过程建模中因数据有限和稀疏而导致的泛化能力差的问题。
• 克服现有物理信息神经网络在通量守恒和边界条件处理方面的不足。
• 开发一种混合模型，将有限体积法的结构守恒定律嵌入可学习的神经网络架构中。
• 实现在仅部分观测（如单一位置的突破曲线）条件下，对全场浓度分布的精确预测。
• 从实验数据中提取并学习隐藏的本构关系，如阻滞因子。

提出的方法

• FINN 将神经网络围绕有限体积控制体构建，每个单元基于邻近单元的通量计算时间导数。
• 通量核（Φθ）通过单元及其邻近单元的输入，近似PDE中的散度项，确保通量的局部守恒。
• 每个通量核使用子组件（N 和 D）分别学习数值格式和作为浓度函数的扩散系数。
• 通过基于观测数据（如突破曲线或总浓度分布）的损失函数进行网络训练。
• 边界条件通过有限体积框架自然地融入，实现对狄利克雷、诺伊曼及混合边界条件的恰当处理。
• 该架构支持端到端反向传播训练，实现物理结构与可学习参数的联合优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 一种嵌入有限体积法守恒结构的神经网络架构，是否能在地下污染物运移中实现优于标准深度学习模型的泛化能力？
• RQ2 当仅基于部分观测（如单一突破曲线）进行训练时，该模型在预测全场浓度动态方面表现如何？
• RQ3 该模型能否成功地从稀疏实验数据中学习并提取出作为浓度函数的阻滞因子？
• RQ4 与传统数值PDE求解器及其他神经网络模型相比，FINN在不同边界条件下的表现如何？
• RQ5 当应用于未见过的岩芯样本或不同实验配置时，该模型能否保持准确性？

主要发现

• 在合成数据上，FINN 的均方误差（MSE）为 4.84×10⁻⁴，优于校准后的PDE模型（MSE = 1.06×10⁻³）。
• 对于岩芯样本 #1，FINN 的 MSE 为 1.37×10⁻³，而数值模型低估，MSE 为 2.50×10⁻³。
• 在岩芯样本 #2B 上（具有零通量诺伊曼边界条件且无突破数据），FINN 的 MSE 为 1.16×10⁻³，优于数值模型（MSE = 2.73×10⁻³）。
• FINN 有效提取了阻滞因子作为浓度的函数，提供了物理解释性强且可解释的模型行为。
• 该模型在不同边界条件和实验设置下均表现出良好泛化能力，对数据稀疏性和结构变化具有鲁棒性。
• FINN 的预测在所有测试案例中均与实验数据高度吻合，包括破坏性取样剖面，证实了其预测准确性和物理一致性。