[论文解读] Learning Parameters and Constitutive Relationships with Physics Informed Deep Neural Networks

Alexandre M. Tartakovsky, Carlos Ortiz Marrero+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 19被引用 76

一句话总结

物理信息约束的深度神经网络用于在偏微分方程中估计未知参数和本构关系，结合数据与控制方程，即使一些测量缺失。

ABSTRACT

We present a physics informed deep neural network (DNN) method for estimating parameters and unknown physics (constitutive relationships) in partial differential equation (PDE) models. We use PDEs in addition to measurements to train DNNs to approximate unknown parameters and constitutive relationships as well as states. The proposed approach increases the accuracy of DNN approximations of partially known functions when a limited number of measurements is available and allows for training DNNs when no direct measurements of the functions of interest are available. We employ physics informed DNNs to estimate the unknown space-dependent diffusion coefficient in a linear diffusion equation and an unknown constitutive relationship in a non-linear diffusion equation. For the parameter estimation problem, we assume that partial measurements of the coefficient and states are available and demonstrate that under these conditions, the proposed method is more accurate than state-of-the-art methods. For the non-linear diffusion PDE model with a fully unknown constitutive relationship (i.e., no measurements of constitutive relationship are available), the physics informed DNN method can accurately estimate the non-linear constitutive relationship based on state measurements only. Finally, we demonstrate that the proposed method remains accurate in the presence of measurement noise.

研究动机与目标

• 在有限数据下，激励解决偏微分方程中的参数与本构封闭问题。
• 开发一个物理信息约束的深度神经网络框架，使状态与未知函数联合学习。
• 展示在线性扩散方程中学习空间依赖的扩散系数。
• 展示在非线性扩散方程中学习状态依赖的本构关系。
• 将性能与传统基于MAP的方法进行比较，并评估对噪声的鲁棒性。

提出的方法

• 为状态 u(x) 与未知本构关系 K(x,u) 定义两个DNN。
• 通过将DNNs代入PDE和边界条件来构造辅助DNN，并通过自动微分计算导数。
• 通过最小化结合数据失配、边界条件残差以及在拟合点处的PDE残差的损失来训练网络。
• 使用准牛顿法L-BFGS-B优化器并采用Xavier初始化进行训练。
• 在线性扩散方程的K(x)及非线性扩散方程的K(u)上评估性能，并考虑噪声鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 物理信息约束的DNN是否能够从对K和u的部分测量中准确学习未知的空间相关扩散系数K(x)？
• RQ2 当K完全未知时，方法是否能仅使用对u的测量来恢复未知的非线性本构关系K(u)？
• RQ3 将PDE约束纳入与传统的MAP方法相比，估计精度受影响的程度如何？
• RQ4 该方法对初始化、拟合点放置以及测量稀疏性的敏感度如何？

主要发现

• 在具有K(x)的线性扩散且有部分测量的情况下，u的相对L2误差约为0.5%，K的相对L2误差约为1.7%。
• 强制PDE约束使K和u的误差大约减少50%。
• K measurements are more informative than u measurements for reducing error, and increasing K data improves both K and u estimates.
• 在K(u)未知且没有直接的K测量的非线性扩散情况下，该方法仅从状态测量中就能准确估计K(u)。
• 在观测噪声小于1%的情况下，该方法仍然准确，在所测试情景中，u的相对误差为7.4e-4，K为6.4e-3。