[论文解读] Finitely presented groups associated with expanding maps

Volodymyr Nekrashevych|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 18

一句话总结

本文为紧致、道路连通的度量空间上每个局部扩张自覆盖映射 $ f: \mathcal{M} \to \mathcal{M} $ 构造了一个有限表示的群 $ \mathcal{V}_f $。该群由预像根树边界上路径提升作用生成，作为拓扑不变量：$ \mathcal{V}_{f_1} \cong \mathcal{V}_{f_2} $ 当且仅当 $ f_1 $ 与 $ f_2 $ 拓扑共轭。换言之，该群完全分类了此类动力系统。其换位子群是单群，而其交换化具有动力学解释。

ABSTRACT

We associate with every locally expanding self-covering $f:M o M$ of a compact path connected metric space a finitely presented group $V_f$. We prove that this group is a complete invariant of the dynamical system: two groups $V_{f_1}$ and $V_{f_2}$ are isomorphic as abstract groups if and only if the corresponding dynamical systems are topologically conjugate. We also show that the commutator subgroup of $V_f$ is simple, and give a topological interpretation of $V_f/V_f'$.

研究动机与目标

• 为紧致、道路连通的度量空间上局部扩张自覆盖映射建立一个有限表示群不变量。
• 证明该群 $ \mathcal{V}_f $ 是动力系统的完全不变量：群同构当且仅当映射拓扑共轭。
• 证明 $ \mathcal{V}_f $ 的换位子群是单群，并给出其交换化 $ \mathcal{V}_f / \mathcal{V}_f' $ 的拓扑解释。

提出的方法

• 构造基点 $ t \in \mathcal{M} $ 沿迭代 $ f $-拉回的根树 $ T_t $。
• 定义边界 $ \partial T_t $ 上的同胚 $ S_\gamma $，其由路径提升诱导，作用于子树上为局部同构。
• 将 $ \mathcal{V}_f $ 定义为所有在局部等于此类 $ S_\gamma $ 映射的 $ \partial T_t $ 上同胚的群。
• 证明 $ \mathcal{V}_f $ 由 Higman-Thompson 群与迭代单值群 $ \mathrm{IMG}(f) $ 生成，后者捕捉了 $ f $ 的单值数据。
• 利用范畴论对偶性与双曲性，将群 $ \mathcal{V}_f $ 与 $ f $ 的动力学联系起来，尤其通过芽与自然提升。
• 应用 M. Rubin 关于群在康托集上作用的定理，从 $ \mathcal{V}_f $ 重构动力系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为紧致、道路连通的度量空间上每个局部扩张自覆盖映射唯一地关联一个有限表示群？
• RQ2 该群 $ \mathcal{V}_f $ 是否为动力系统的完全不变量，即群同构是否蕴含映射的拓扑共轭？
• RQ3 换位子群 $ \mathcal{V}_f' $ 的结构如何？它是否具有如单性等特殊性质？
• RQ4 交换化 $ \mathcal{V}_f / \mathcal{V}_f' $ 如何与映射 $ f $ 的动力学相关联？
• RQ5 仅从群 $ \mathcal{V}_f $ 是否能重构原始动力系统？

主要发现

• 对紧致、道路连通的度量空间上每个局部扩张自覆盖映射 $ f: \mathcal{M} \to \mathcal{M} $，群 $ \mathcal{V}_f $ 均为有限表示。
• 群 $ \mathcal{V}_f $ 是完全不变量：作为抽象群，$ \mathcal{V}_{f_1} \cong \mathcal{V}_{f_2} $ 当且仅当 $ f_1 $ 与 $ f_2 $ 拓扑共轭。
• 换位子群 $ \mathcal{V}_f' $ 是单群，其证明基于自相似群及其相关群的一般性质。
• 交换化 $ \mathcal{V}_f / \mathcal{V}_f' $ 可解释为与 $ f $ 关联的极限层叠空间的基本群，或等价地，为极限空间的一阶同调群。
• 群 $ \mathcal{V}_f $ 同构于 $ \mathcal{V}_{\mathrm{IMG}(f)} $，即其完全由 $ f $ 的迭代单值群决定，且无需额外的自相似结构。
• 通过芽的范畴与在康托集 $ \partial T_t $ 上的作用，可从 $ \mathcal{V}_f $ 重构动力系统 $ f $，从而实现完全分类。