[论文解读] Finiteness properties of pseudo-hyperbolic varieties

Ariyan Javanpeykar, Junyi Xie|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 82被引用 5

一句话总结

本文利用 Amerik 关于无限阶动力系统定理、Prokhorov-Shramov 的拟极小模型理论、Weil 的正规化定理以及动力度，证明了在特征零代数闭域上，伪双曲代数簇上主导有理自同态的有限性结果。关键贡献在于证明了伪 1-有界射影代数簇上主导有理自同态的群是有限且挠的，推广了 Noguchi 定理，并将 Kobayashi-Ochiai 的有限性结果从一般型簇推广至几何设定。

ABSTRACT

Motivated by Lang-Vojta's conjecture, we show that the set of dominant rational self-maps of an algebraic variety over a number field with only finitely many rational points in any given number field is finite by combining Amerik's theorem for dynamical systems of infinite order with properties of Prokhorov-Shramov's notion of quasi-minimal models. We also prove a similar result in the geometric setting by using again Amerik's theorem and Prokhorov-Shramov's notion of quasi-minimal model, but also Weil's regularization theorem for birational self-maps and properties of dynamical degrees. Furthermore, in the geometric setting, we obtain an analogue of Kobayashi-Ochiai's finiteness result for varieties of general type, and thereby generalize Noguchi's theorem (formerly Lang's conjecture).

研究动机与目标

• 验证 Lang-Vojta 猜想：在数域上，伪 Mordellic 代数簇仅有有限个主导有理自同态。
• 将一般型簇的有限性结果推广至更广泛的伪双曲代数簇类，适用于几何设定。
• 为一般型簇的 Kobayashi-Ochiai 有限性结果建立几何类比，推广 Noguchi 定理。
• 利用形变理论与动力不变量，证明伪 1-有界代数簇上双有理自同态群是有限且挠的。

提出的方法

• 结合 Amerik 关于无限阶动力系统的定理与 Prokhorov-Shramov 的拟极小模型概念，以控制有理自同态。
• 应用 Weil 的正规化定理，将双有理自同态延拓至双有理模型上的自同构。
• 利用动力度分析在迭代映射下，ample 线丛拉回的渐近增长。
• 采用 Hwang-Kebekus-Peternell 的形变理论技术，研究正规代数簇之间的满射。
• 依赖于动力度的对数凹性，以及当 λ₁ > 1 时，曲线上的度增长无界。
• 将问题约化至曲线截面，其中有界度增长与非双有理映射下的无界增长矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个定义在数域上伪 Mordellic 代数簇的主导有理自同态是否都具有有限阶？
• RQ2 双有理自同态的有限性是否可从一般型簇推广至伪双曲代数簇？
• RQ3 伪 1-有界射影代数簇上主导有理自同态群是否有限且挠？
• RQ4 Kobayashi-Ochiai 有限性结果的几何类比是否对伪 1-有界代数簇成立？
• RQ5 动力度能否通过曲线上度的增长来检测自同态的非双有理性？

主要发现

• 在特征零代数闭域上，伪 1-有界射影代数簇上主导有理自同态群是有限且挠的。
• 每个伪 1-有界代数簇的主导有理自同态都是双有理的，因为非双有理映射会在曲线上导致度增长无界。
• 若存在一点，其正向轨道在某个真闭子集之外有定义，则其在曲线上导致有界度增长，与非双有理映射下的无界增长矛盾。
• 动力度 λ₁ > 1 意味着 ample 线丛拉回的度在迭代下无界增长，与曲线上有界性矛盾。
• Weil 的正规化定理保证双有理自同态可延拓为双有理模型上的自同构，而由于伪 1-有界性，该自同构必有有限阶。
• 该结果推广了 Noguchi 定理（原为 Lang 猜想），并为一般型簇的 Kobayashi-Ochiai 有限性结果提供了几何类比。