[论文解读] Finitistic Auslander algebras

René Marczinzik|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文引入了finitistic Auslander代数——有限维代数中，其支配维数等于finitistic维数且两者均至少为二的代数——推广了Auslander-Gorenstein代数与高阶Auslander代数。主要贡献是通过支配维数模的同调条件对这类代数进行刻画，从而以简短证明重新获得高阶Auslander对应关系，并得出关于Hopf代数与自对偶代数的新结果。

ABSTRACT

Recently, Chen and Koenig in \cite{CheKoe} and Iyama and Solberg in \cite{IyaSol} independently introduced and characterised algebras with dominant dimension coinciding with the Gorenstein dimension and both dimensions being larger than or equal to two. In \cite{IyaSol}, such algebras are named Auslander-Gorenstein algebras. Auslander-Gorenstein algebras generalise the well known class of higher Auslander algebras, where the dominant dimension additionally coincides with the global dimension. In this article we generalise Auslander-Gorenstein algebras further to algebras having the property that the dominant dimension coincides with the finitistic dimension and both dimension are at least two. We call such algebras finitistic Auslander algebras. As an application we can specialise to reobtain known results about Auslander-Gorenstein algebras and higher Auslander algebras such as the higher Auslander correspondence with a very short proof. We then give several conjectures and classes of examples for finitistic Auslander algebras. For a local Hopf algebra $A$ and an indecomposable non-projective $A$-module $M$, we show that $End_A(A \oplus M)$ is always a finitistic Auslander algebra of dominant dimension two. In particular this shows that $Ext_A^1(M,M)$ is always non-zero, which generalises a result of Tachikawa who proved that $Ext_A^1(M,M) eq 0$ for indecomposable non-projective modules $M$ over group algebras of $p$-groups. We furthermore conjecture that every algebra of dominant dimension at least two which has exactly one projective non-injective indecomposable module is a finitistic Auslander algebra. We prove this conjecture for a large class of algebras which includes all representation-finite algebras.

研究动机与目标

• 通过引入支配维数等于finitistic维数且两者均至少为二的finitistic Auslander代数，推广Auslander-Gorenstein代数与高阶Auslander代数。
• 利用特定支配维数或Gorenstein投影维数的模的子范畴，对这些代数进行同调刻画。
• 证明对于局部Hopf代数及非投射的不可约模$M$，形如$\mathrm{End}_A(A \oplus M)$的自同态代数是支配维数为二的finitistic Auslander代数。
• 激发并证明一个猜想的特例：每个支配维数≥2且恰好有一个非内射投射模的代数都是finitistic Auslander代数。
• 将理论扩展至弱finitistic Auslander代数，其中支配维数等于finitistic维数，即使该共同值为一。

提出的方法

• 将finitistic Auslander代数定义为支配维数等于finitistic维数且两者均≥2的有限维代数。
• 通过四个等价条件刻画此类代数：$Dom_d(A)$包含于$Proj(A) \cup Proj_\infty(A)$，包含于$Gp(A) \cup Gp_\infty(A)$，以及对属于$M^{\perp d-2} \setminus add(M)$的模的无限$add(M)$-解析维数。
• 利用生成器-余生成器理论与相对同调维数，推广簇倾斜与预簇倾斜对象。
• 应用该刻画以恢复已知结果，如高阶Auslander对应关系及Auslander-Gorenstein代数上Gorenstein投影模的分类。
• 证明对于局部Hopf代数及不可约非投射$A$-模$M$，有$\mathrm{End}_A(A \oplus M)$是支配维数为2的finitistic Auslander代数。
• 利用表示理论与Gorenstein同调代数分析示例，包括Nakayama代数与gendo-对称双循环代数，并支持关于支配维数阈值的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，一个代数的支配维数等于其finitistic维数？这种等式会引发何种结构性质？
• RQ2 能否通过finitistic Auslander代数的新框架，以简短证明重新获得高阶Auslander对应关系？
• RQ3 对于任意局部Hopf代数$A$及不可约非投射$A$-模$M$，$\mathrm{End}_A(A \oplus M)$是否为finitistic Auslander代数？
• RQ4 每个支配维数≥2且恰好有一个非内射投射模的代数是否满足finitistic Auslander代数的条件？
• RQ5 对支配维数的多项式界$f(n)$应满足何种条件，才能确保任意非自对偶代数（含$n$个单模）均为finitistic Auslander代数？

主要发现

• finitistic Auslander代数由四个等价条件刻画，涉及有限投影维数或Gorenstein投影维数模的子范畴。
• 对于任意局部Hopf代数$A$及不可约非投射$A$-模$M$，自同态代数$\mathrm{End}_A(A \oplus M)$是支配维数为2的finitistic Auslander代数。
• 该结果蕴含$\mathrm{Ext}^1_A(M,M) \neq 0$，推广了Tachikawa关于$p$-群代数的定理。
• 对于局部自对偶代数$A$，代数$B = \mathrm{End}_A(A \oplus S)$是支配维数为2的标准分层finitistic Auslander代数。
• 代数$B$为Auslander-Gorenstein代数当且仅当$A \cong K[x]/(x^n)$（$n \geq 2$）；$B$为高阶Auslander代数当且仅当$A \cong K[x]/(x^2)$。
• 每个表示有限的NASG代数均为弱finitistic Auslander代数，且此类代数的finitistic维数猜想成立。