[论文解读] Gendo-symmetric algebras, dominant dimensions and Gorenstein homological algebra

René Marczinzik|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文证明了具有有限个不可约半Gorenstein-投影模的有限维代数是左弱Gorenstein代数，推广了Ringel与Zhang的结果。进一步在gendo-对称代数中建立了余维数与Gorenstein同调代数之间的联系，证明了若存在非投射的Gorenstein-投影-内射模，则代数具有无限表示型，并通过量子外代数（如Liu-Schulz代数）构造了首个系统性的非弱Gorenstein代数族。

ABSTRACT

We prove that a finite dimensional algebra $A$ with representation-finite subcategory consisting of modules that are semi-Gorenstein-projective and $n$-th syzygy modules is left weakly Gorenstein. This generalises a theorem of Ringel and Zhang who proved the result in the case $n=1$. As an application we show that monomial algebras and endomorphism rings of modules over representation-finite algebras are weakly Gorenstein. We then give a new connection between the theory of dominant dimension and Gorenstein homological algebra for gendo-symmetric algebras. As an application, we will see that the existence of a non-projective Gorenstein-projective-injective module in a gendo-symmetric algebra already implies that this algebra is not CM-finite. We apply out methods to give a first systematic construction of non-weakly Gorenstein algebras using the theory of gendo-symmetric algebras. In particular, we can construct non-weakly Gorenstein algebras with an arbitrary number of simple modules from certain quantum exterior algebras such as the Liu-Schulz algebra.

研究动机与目标

• 将Ringel与Zhang关于弱Gorenstein代数的结果从n=1推广到任意n ≥ 1。
• 在gendo-对称代数中建立余维数与Gorenstein同调代数之间新的联系。
• 证明在gendo-对称代数中，若存在一个非投射的Gorenstein-投影-内射模，则代数为CM-无穷型。
• 利用gendo-对称代数与量子外代数，系统地构造非弱Gorenstein代数。
• 解决关于l-特殊模与量子完全交截代数中Ext消去的开放问题。

提出的方法

• 引入子范畴φₙ = ⁻¹A ∩ Ωⁿ(mod-A)，即半Gorenstein-投影的n阶syzygy模。
• 证明若φₙ有限（模同构），则该代数为左弱Gorenstein。
• 利用gendo-对称代数中τ(M) ≅ Ω²(M)当且仅当M的余余维数至少为2的刻画。
• 应用Mueller定理，表明当Ext¹(Mᵢ, Mᵢ) ≠ 0时，余维数为2。
• 通过量子完全交截代数上模的自同态环构造非弱Gorenstein代数。
• 利用Ext消去条件与模参数（如r不是单位根）确保Ext¹非零而高阶Ext为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有有限个不可约半Gorenstein-投影n阶syzygy模的代数是左弱Gorenstein？
• RQ2 在gendo-对称代数中，余维数与Gorenstein-投影-内射模之间的确切关系为何？
• RQ3 在gendo-对称代数中，若存在一个非投射的Gorenstein-投影-内射模，是否必然导致代数为CM-无穷型？
• RQ4 能否从量子完全交截代数系统地构造非弱Gorenstein代数？
• RQ5 在任意域上的对称代数上是否存在l-特殊模？它们能否用于构造非弱Gorenstein代数？

主要发现

• 任何仅具有有限个不可约半Gorenstein-投影n阶syzygy模的代数都是左弱Gorenstein代数，推广了Ringel与Zhang在n=1时的结果。
• 单项式代数与表示有限代数上模的自同态环均为弱Gorenstein代数。
• 在gendo-对称代数中，A-模M是Gorenstein-投影-内射模当且仅当其具有无限余维数与无限余余维数。
• 在gendo-对称代数中，若存在一个非投射的Gorenstein-投影-内射模，则该代数不是CM-有限型。
• 可从Liu-Schulz代数及其他量子外代数构造出具有任意多个单模的非弱Gorenstein代数。
• 对于量子完全交截代数，当存在满足Ext¹(M,M)≠0且对所有i≥2有Extⁱ(M,M)=0的模，且r不是单位根时，存在非弱Gorenstein代数。