[论文解读] First cohomology of pure mapping class groups of big genus one and zero surfaces

George Domat, Paul Plummer|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文证明了无限型亏格一曲面的纯映射类群的一阶整上同调是平凡的，而对于亏格零曲面，构造了一个不可数族到 ℤ 的同态，这些同态不通过有限型带 puncture 的球面——表明并非所有此类上同调类都源自有限型子曲面。

ABSTRACT

We prove that the first integral cohomology of pure mapping class groups of infinite type genus one surfaces is trivial. For genus zero surfaces we prove that not every homomorphism to $\mathbb{Z}$ factors through a sphere with finitely many punctures. In fact we get an uncountable family of such maps.

研究动机与目标

• 确定无限型亏格一和亏格零曲面的纯映射类群的一阶整上同调结构。
• 研究这些群到 ℤ 的所有同态是否都通过有限型子曲面（特别是带有限个 puncture 的球面）分解。
• 在亏格零情况下显式构造不源自有限型结构的上同调类。
• 通过解决亏格零曲面这一缺失情形，完整描绘大纯映射类群的一阶上同调图景。

提出的方法

• 使用 Gervais 星形关系式分析亏格一曲面的有限型穷举序列的同调。
• 应用 [APV17] 和 [D61] 中的连续性结果，表明到 ℤ 的非平凡同态必须是连续的，从而通过发散像序列导致矛盾。
• 通过为曲面 flute 上的特定曲线 γ_ai 和 γ_bi 的德恩旋转变换分配非零值（符号相反）来构造一个特定同态 φ。
• 利用引理 4.1（将闭包中的元素刻画为德恩旋转变换的无限积）证明该同态可连续延拓至整个纯映射类群。
• 证明所构造的同态不通过任何到有限型曲面的遗忘映射，因为移除任意一个 puncture 都会使关键德恩旋转变换的像平凡化。
• 通过改变赋予非零值的曲线集合（以 ℕ 的无限余维子集为指标），将构造推广至不可数多个此类同态。

实验结果

研究问题

• RQ1 无限型亏格一曲面的纯映射类群的一阶整上同调是否平凡？
• RQ2 无限型亏格零曲面的纯映射类群到 ℤ 的所有同态是否都通过有限型带 puncture 的球面分解？
• RQ3 能否在亏格零情况下显式构造不支持于有限型子曲面的非平凡上同调类？
• RQ4 当曲面为亏格零且具有无限多个 puncture 时，大纯映射类群的一阶上同调群的结构是什么？
• RQ5 无限型曲面的上同调类与其有限型子曲面及商曲面的上同调类有何关系？

主要发现

• 任何无限型亏格一曲面的纯映射类群的一阶整上同调是平凡的：H¹(PMCG(S);ℤ) = 0。
• 对于亏格零曲面，存在一个从 PMCG(S) 到 ℤ 的同态，它不通过任何到有限型球面的遗忘映射。
• 存在一个不可数族此类不通过有限型结构的同态，其指标为正整数集的无限余维子集。
• 所构造的同态在完整的纯映射类群上连续且定义良好，通过德恩旋转变换的无限积从紧支集元素延拓而来。
• 无法通过有限型曲面分解的关键障碍在于：移除任意一个 puncture 都会使某些德恩旋转变换变为平凡，但它们在同态下的像非零。
• 结果完成了对大纯映射类群一阶上同调的分类，将亏格零识别为唯一具有非平凡且非有限型子曲面支撑的上同调的例外情形。