[论文解读] Torsion points on the cohomology jump loci of compact Kähler manifolds

Botong Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 9

一句话总结

本文证明了紧致凯勒流形的上同调跳跃簇的每个不可约分支都至少包含一个扭点，推广了辛普森对光滑复射影簇的结果。关键贡献在于证明这些簇是算术子簇的有限并——即代数子群的扭点平移——从而证实了博伊维尔与卡塔内泽的猜想，并构造了一个无法实现为光滑复射影簇的紧致凯勒流形。

ABSTRACT

We prove that each irreducible component of the cohomology jump loci of rank one local systems over a compact Kähler manifold contains at least one torsion point. This generalizes a theorem of Simpson for smooth complex projective varieties. An immediate consequence is the conjecture of Beauville and Catanese for compact Kähler manifolds. We also provide an example of a compact Kähler manifold, whose cohomology jump loci can not be realized by any smooth complex projective variety.

研究动机与目标

• 将辛普森关于上同调跳跃簇中扭点的定理从光滑复射影簇推广到紧致凯勒流形。
• 解决博伊维尔与卡塔内泽关于 Dolbeault 上同调跳跃簇为子环面的扭点平移的猜想。
• 构造一个其上同调跳跃簇无法由任何光滑复射影簇实现的紧致凯勒流形。
• 在上同调跳跃簇的背景下，将阿贝尔簇的技术扩展到复环面。

提出的方法

• 通过分析阿隆贝索映射并构造复环面乘积的合适展开模型，将施内尔关于阿贝尔簇的结果推广到复环面。
• 利用阿隆贝索簇的结构及其在特征群上的诱导映射，将上同调跳跃簇描述为来自复环面的拉回像的有限并。
• 该方法依赖于单位化局部系统的霍奇分解，以及通过唐纳森-乌伦贝克-杨定理将扭Picard群与单位化特征相联系。
• 应用 $\bar{\nabla}$-引理和曲率形变，构造具有平凡第一陈类的线丛上的平坦单位度量。
• 构造涉及对 $T \times T \times \mathbb{P}^1$ 沿四个不相交中心的展开，得到一个具有显式上同调跳跃簇的复流形。
• 关键技术步骤是证明上同调跳跃簇 $Σ^2_1(X)$ 可分解为商环面 $B_i = (T \times T)/Z_i$ 上的拉回，每个拉回对应一个算术子簇。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧致凯勒流形的上同调跳跃簇的每个不可约分支是否都包含一个扭点？
• RQ2 紧致凯勒流形上的 Dolbeault 上同调跳跃簇是否总是子环面的扭点平移的有限并，如博伊维尔与卡塔内泽所猜想？
• RQ3 紧致凯勒流形的上同调跳跃簇是否可能无法由任何光滑复射影簇实现？
• RQ4 上同调跳跃簇在多大程度上能检测紧致凯勒流形的射影性？

主要发现

• 对于紧致凯勒流形 $X$，其上同调跳跃簇 $Σ^i_k(X)$ 的每个不可约分支在特征群 $Σ(X)$ 中至少包含一个扭点。
• 上同调跳跃簇 $Σ^i_k(X)$ 是算术子簇的有限并——即代数子群的扭点平移——从而证明了定理 1.3。
• 博伊维尔与卡塔内泽的猜想得到证实：对任意紧致凯勒流形，其 Dolbeault 跳跃簇 $Σ^{pq}_k(X)$ 是子环面的扭点平移的有限并。
• 构造了一个紧致凯勒流形 $X$，其上同调跳跃簇无法由任何光滑复射影簇实现，原因在于其 Pic^0 群的非射影性。
• 该流形的上同调跳跃簇 $Σ^2_1(X)$ 被证明是四个来自商环面 $B_i$ 的拉回的并集，每个拉回对应一个扭点平移。
• 流形 $X$ 的实 2-同伦类型决定了 $Σ^2_1(X)$ 在原点附近的芽，而该芽表明 $Σ^2_1(X)$ 不可能来自射影流形。