[论文解读] Fitting Martingales To Given Marginals

George Lowther|ArXiv.org|Aug 17, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 16

一句话总结

本文提出了一种唯一且连续的构造方法，用于构建与任意给定一族边际分布相匹配的强马尔可夫鞅，前提是这些边际分布满足凸序递增、均值恒定且弱连续的条件。该解被证明是唯一连续的拟合方法，推广了局部波动率模型，并可扩展至具有跳跃或奇点的扩散过程。

ABSTRACT

We consider the problem of finding a real valued martingale fitting specified marginal distributions. For this to be possible, the marginals must be increasing in the convex order and have constant mean. We show that, under the extra condition that they are weakly continuous, the marginals can always be fitted in a unique way by a martingale which lies in a particular class of strong Markov processes. It is also shown that the map that this gives from the sets of marginal distributions to the martingale measures is continuous. Furthermore, we prove that it is the unique continuous method of fitting martingale measures to the marginal distributions.

研究动机与目标

• 解决构造具有预设边际分布的实值鞅的问题。
• 确定此类鞅存在的必要与充分条件。
• 在边际分布具有弱正则性条件下，建立拟合过程的唯一性与连续性。
• 证明所提出的拟合方法是唯一连续的匹配边际分布与鞅测度的方式。

提出的方法

• 本文使用凸势函数 $ C(t,x) = \int (y - x)_+ \, d\mu_t(y) $ 表示边际分布，并通过 $ t $ 的单调性刻画凸序递增性。
• 引入了近似连续扩散过程（ACDs）类，该类推广了连续扩散过程，包含跳跃过程与奇异扩散过程。
• 构造依赖于凸势函数凸锥 $ \mathrm{CP} $ 中的极值元素，通过离散时间逼近的极限论证确保唯一性。
• 利用有限维分布收敛性与 $ \mathrm{CP} $ 上的度量，证明了从边际分布到鞅测度的映射的连续性。
• 通过极值过程的逼近与有界可测函数期望的收敛性，证明了连续拟合方法的唯一性。
• 关键的技术工具是 $ \mathrm{CP} $ 上的度量 $ d $，该度量可通过对有限维分布的控制来掌控鞅律的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否唯一构造出一个强马尔可夫鞅，使其匹配任意给定的边际分布族？
• RQ2 对边际分布施加何种条件可确保此类鞅的存在？
• RQ3 所得的鞅测度是否对边际分布的微小扰动保持连续？
• RQ4 所提出的拟合方法是否是唯一连续的匹配任意边际分布与鞅测度的方法？
• RQ5 当边际分布光滑且密度严格为正时，该方法如何推广局部波动率模型？

主要发现

• 若边际分布满足凸序递增、均值恒定且弱连续，则存在唯一强马尔可夫鞅匹配给定边际分布。
• 该解属于近似连续扩散过程（ACDs）类，包含连续扩散、跳跃扩散与奇异扩散。
• 从边际分布到所得鞅测度的映射是连续的，确保在边际分布发生微小变化时具有稳定性。
• 所提出的拟合方法是唯一连续的匹配边际分布与鞅测度的方式，意味着其他模型必为不连续或近似形式。
• 当边际分布光滑且密度严格为正时，该构造与局部波动率SDE一致，从而推广了局部波动率模型。
• 通过逼近与极限论证，利用凸势函数凸锥 $ \mathrm{CP} $ 中的极值元素构造了解。