[论文解读] Five-loop massless propagator integrals

Alessandro Georgoudis, Vasco Gonçalves+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文通过共形四点积分的对称性约束与参数积分，计算了位置空间中170个真实的五圈无质量两体费曼积分的$\epsilon$展开。利用傅里叶变换，对20个非平面主积分提取了$\epsilon$的主导阶有限项，实现了量子场论中更高圈计算的突破。

ABSTRACT

We develop a method to obtain $ε$-expansions of massless two-point integrals in position space, based on the constraints implied by symmetries of the asymptotic expansion of conformal four-point integrals. Together with parametric integration, we are able to fix the expansions of 170 genuine five-loop master integrals. In particular, we computed the expansions of all planar master integrals up to transcendental weight 9.

研究动机与目标

• 计算位置空间中五圈无质量两体费曼积分的$\epsilon$展开，这些积分对量子场论中的高圈修正至关重要。
• 通过利用对称性约束，克服高圈阶数下按部分积分（IBP）约化带来的计算瓶颈。
• 确定170个真实五圈主积分的$\epsilon$展开，包括所有至多具有九重超越权重的平面主积分。
• 通过将位置空间积分进行傅里叶变换，将结果拓展至非平面积分，从而在$\epsilon$的主导阶获得有限项。

提出的方法

• 利用有限四点积分渐近展开中的共形对称性约束，限制两体积分$\epsilon$展开的形式。
• 应用参数积分方法计算受约束的积分，从而确定$\epsilon$展开的系数。
• 使用程序Azurite在位置空间中识别五圈两体函数的全部主积分集合。
• 利用HyperInt直接计算未受对称性约束的一小部分主积分。
• 对具有十一个分母的位置空间积分进行傅里叶变换，将其映射为动量空间的$p$-积分。
• 通过匹配变换后的被积函数与结果，提取动量空间中$\epsilon$展开的主导有限项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用四点积分的共形对称性来约束五圈两体积分的$\epsilon$展开？
• RQ2 所有平面五圈主积分在至多九重超越权重下的$\epsilon$展开具有何种结构？
• RQ3 哪些非平面五圈主积分可通过傅里叶变换在$\epsilon$的主导阶被求解？
• RQ4 对称性约束与参数积分的结合如何实现170个真实五圈主积分的完整$\epsilon$展开？
• RQ5 非平面五圈积分的位置空间与动量空间表示之间存在何种联系？

主要发现

• 已计算出位置空间中全部170个真实五圈主积分的$\epsilon$展开，包括所有至多具有九重超越权重的平面主积分。
• 所有平面主积分在权重9以内完全确定，结果以多重zeta值表示。
• 通过傅里叶变换，成功提取了20个非平面主积分在$\epsilon$展开中的主导有限项，获得动量空间中的有限结果。
• 特定非平面积分的结果为$M_p = \frac{1}{p^2}\left(8\zeta_3^3 + \frac{1063}{9}\zeta_9\right) + \mathcal{O}(\epsilon)$，验证了方法的有效性。
• 该方法通过结合对称性约束与参数积分，成功绕过了五圈阶数下的IBP计算瓶颈。
• 结果以辅助文件与Mathematica笔记本形式提供，可直接用于量子场论中的高圈计算。