[论文解读] Fixed Parameter Inapproximability for Clique and SetCover in Time Super-exponential in OPT

Mohammad Taghi Hajiaghayi, Rohit Khandekar+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 4

一句话总结

该论文在指数时间假设（ETH）下，首次建立了最大团（Maximum Clique）和最小集合覆盖（Minimum Set Cover）问题在最优值（opt）上超指数时间运行的固定参数可近似性下界。论文引入了新颖的最优值缩减技术，在间隙归约中降低最优值，证明了这些问题是 $(r,t)$-FPT-hard 的，其中 $r$ 和 $t$ 为任意非递减函数，包括超多项式与超指数增长，从而强化了先前的 FPT 可近似性下界结果。

ABSTRACT

In this paper, we consider proving inapproximability in terms of OPT and thus we base the foundations of fixed parameter inapproximability.

研究动机与目标

• 通过以最优值（opt）为参数来参数化可近似性，而非输入参数 $k$，建立 Clique 和 SetCover 问题更强的固定参数可近似性下界。
• 克服先前 FPT 硬度结果仅在最优值上实现次指数时间运行的局限性，目标是实现超指数时间运行。
• 首次为 Clique 和 SetCover 提供运行时间 $t(\text{opt})$ 超指数于 opt 的可近似性下界，从而支持 Fellows 关于这些问题 FPT-hard 性质的猜想。
• 开发系统性技术，用于在间隙归约中降低最优值，从而实现更强的可近似性下界。

提出的方法

• 在指数时间假设（ETH）下，使用从 3-SAT 的间隙归约，构建实例使得在 'yes' 实例中的最优值通过结构变换显著降低。
• 对于 Clique，设计了一种归约方法，将 3-SAT 公式映射为图构造，使得满足赋值对应大小为 $f(q)$ 的团，其中 $f(q)$ 为任意缓慢增长的函数。
• 对于最小最大独立集（MMIS）问题，构造了一类图，使得 'yes' 实例的 MMIS 大小为 $f(q)$，而 'no' 实例至少需要大小为 $q$，从而形成巨大间隙。
• 他们应用一种新颖技术，通过精心选择赋值集合与超顶点，降低 'yes' 实例中的最优值，同时确保新最优值下 'yes' 与 'no' 实例之间的间隙保持足够大。
• 归约设计使得任何满足 $t(\text{opt}) = 2^{o(\text{opt})}$ 的 $(r,t)$-FPT-近似算法都会违反 ETH，从而证明对于任意非递减函数 $r$ 和 $t$，问题均为 $(r,t)$-FPT-hard。
• 该技术被推广，以证明 MMIS 对于任意函数 $r$ 和 $t$ 均为 $(r,t)$-FPT-hard，即使它们增长速度任意快。

实验结果

研究问题

• RQ1 Clique 和 SetCover 是否可被证明为对于任意非递减函数 $r$ 和 $t$，且 $t(\text{opt})$ 超指数于 opt 的 $(r,t)$-FPT-hard？
• RQ2 是否可能在 Clique 和 SetCover 的间隙归约中降低最优值，同时保持 'yes' 与 'no' 实例之间的大间隙？
• RQ3 用于 Clique 和 MMIS 的技术是否可推广至其他 W[1]-hard 或 W[2]-hard 问题，以实现超指数于 opt 的可近似性下界？
• RQ4 随机采样是否能以保持大间隙的方式降低最优值，适用于 W[1]- 或 W[2]-hard 问题？
• RQ5 是否可系统性地利用最优值的缩减，以证明此前仅知为 W[1]-hard 的问题更强的 FPT 可近似性下界？

主要发现

• 在指数时间假设（ETH）下，Clique 对于任意非递减函数 $r$ 满足 $r(\text{opt}) = 1/(1-\epsilon)$（其中 $\epsilon > 0$），以及任意函数 $t$（包括 $t(\text{opt}) = 2^{o(\text{opt})}$）均为 $(r,t)$-FPT-hard。
• 该论文在 Feige 和 Kilian 的结果基础上取得改进，实现了超指数于 opt 的可近似性下界，而不仅限于次指数时间。
• 对于最小最大独立集（MMIS）问题，作者证明了对于任意非递减函数 $r$ 和 $t$，即使其增长速度任意快，问题均为 $(r,t)$-FPT-hard。
• 归约中 'yes' 实例的最优值被降低至 $f(q)$，其中 $f(q)$ 为任意缓慢增长的函数，从而实现更强的可近似性下界。
• 'yes' 与 'no' 实例之间的间隙被证明大于 $q/f(q)$，足以排除任何满足 $t(\text{opt}) = 2^{o(q)}$ 的 $(r,t)$-FPT-近似算法，从而与 ETH 矛盾。
• 该归约技术具有鲁棒性，适用于三种不同问题，包括 Clique、SetCover 和 MMIS，展现出广泛适用性。