[论文解读] Fixed point properties for semigroups of nonlinear mappings on unbounded sets

Anthony To‐Ming Lau, Yong Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 32被引用 9

一句话总结

本文建立了希尔伯特空间中无界闭凸子集上非扩张和广义混合映射的半拓扑半群的公共不动点定理。通过引入公共吸引点的概念，并利用函数空间 $ C_b(S) $、$ LUC(S) $、$ AP(S) $ 和 $ WAP(S) $ 上的左不变平均，作者证明：若某点 $ c \in C $ 的轨道有界，则在半群满足可瑕性或可逆性条件时，该半群存在公共不动点。

ABSTRACT

A well-known result of W. Ray asserts that if $C$ is an unbounded convex subset of a Hilbert space, then there is a nonexpansive mapping $T$: $C o C$ that has no fixed point. In this paper we establish some common fixed point properties for a semitopological semigroup $S$ of nonexpansive mappings acting on a closed convex subset $C$ of a Hilbert space, assuming that there is a point $c\in C$ with a bounded orbit and assuming that certain subspace of $C_b(S)$ has a left invariant mean. Left invariant mean (or amenability) is an important notion in harmonic analysis of semigroups and groups introduced by von Neumann in 1929 \cite{Neu} and formalized by Day in 1957 \cite{Day}. In our investigation we use the notion of common attractive points introduced recently by S. Atsushiba and W. Takahashi.

研究动机与目标

• 将希尔伯特空间中无界凸集上非扩张半群的不动点结果，从轨道有界的经典情形推广至更一般情形。
• 研究 $ C_b(S) $、$ LUC(S) $、$ AP(S) $ 和 $ WAP(S) $ 等函数空间上的左不变平均在保证公共不动点存在性中的作用。
• 将 Atsushiba 和 Takahashi 关于公共吸引点的先前结果推广至更广泛的半拓扑半群类。
• 确定在何种半群及其作用条件（如可瑕性、可逆性、连续性）下，即使集合无界，公共不动点仍存在。
• 探讨严格凸空间与希尔伯特空间中公共吸引点与公共不动点之间的关系。

提出的方法

• 利用 Atsushiba 和 Takahashi 提出的公共吸引点概念，刻画半群的不动点集。
• 在 $ C_b(S) $、$ LUC(S) $、$ AP(S) $ 和 $ WAP(S) $ 上应用左不变平均，构造一个算子网 $ T_\mu $，使其收敛于公共不动点。
• 对半群作用施加拓扑条件，如弱分离连续性、弱联合连续性以及弱拟等度连续性。
• 证明：若存在某 $ c \in C $ 使得 $ \{T_s c\} $ 有界，则吸引点集 $ A_C(\mathcal{S}) $ 非空且为闭凸集。
• 利用子空间 $ X \subset \ell^\infty(S) $ 上的双边不变平均 $ \mu $，确保 $ T_\mu x \in A_C(\mathcal{S}) $ 且 $ \lim_t P_{A_C(\mathcal{S})}(T_t x) = T_\mu x $。
• 应用广义混合映射的理论，将结果从非扩张映射推广至更广范围，基于轨道的连续性与有界性假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，半拓扑半群 $ S $ 的连续表示（在无界闭凸集 $ C \subset H $ 上）具有非扩张映射的公共不动点？
• RQ2 当 $ \{T_s c\} $ 对某 $ c \in C $ 有界时，即使 $ C $ 无界，是否能保证存在公共吸引点？
• RQ3 在 $ C_b(S) $、$ LUC(S) $、$ AP(S) $ 或 $ WAP(S) $ 上存在左不变平均，是否能确保 $ S $ 存在公共不动点？
• RQ4 半群作用的拓扑性质（如弱分离连续性或弱联合连续性）如何影响不动点结构？
• RQ5 在类似条件下，非扩张映射的结果能在多大程度上推广至广义混合映射？

主要发现

• 若 $ S $ 为左可瑕半拓扑半群，且存在某 $ c \in C $ 使得 $ \{T_s c\} $ 有界，则 $ F(S) \neq \emptyset $，将 Atsushiba 和 Takahashi 的结果推广至非交换半群。
• 对于右可逆半拓扑半群 $ S $，若 $ \{T_s c\} $ 有界，且作用满足弱分离连续性与弱拟等度连续性，则 $ A_C(\mathcal{S}) \neq \emptyset $，且对所有 $ x \in C $，有 $ T_\mu x \in A_C(\mathcal{S}) $。
• 当 $ X = C_b(S) $ 且 $ s \mapsto T_s c $ 连续映射到 $ (C, \text{wk}) $ 时，集合 $ A_C(\mathcal{S}) $ 非空、闭且凸，且 $ \lim_t P_{A_C(\mathcal{S})}(T_t x) = T_\mu x $。
• 在弱联合连续性下，$ X = LUC(S) $ 时结论成立；在弱等度连续性下，$ X = AP(S) $ 时结论成立；在弱拟等度连续性下，$ X = WAP(S) $ 时结论成立。
• 对于广义混合映射，若 $ \{T_s c\} $ 有界，且 $ X \subset \ell^\infty(S) $ 允许存在双边不变平均 $ \mu $，则 $ A_C(\mathcal{S}) \neq \emptyset $ 且 $ T_\mu x \in A_C(\mathcal{S}) $。
• 定理 5.4 确认：在 $ C $ 为凸集的条件下，公共吸引点的存在性可推出 $ S $ 存在公共不动点，即使在无界情形下亦成立。