[论文解读] Fixed point theorems for a class of mappings depending of another function and defined on cone metric spaces

E R. Morales, Edixon Rojas|ArXiv.org|Jun 11, 2009

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文建立了在完备锥度量空间上定义的广义映射类 $ D_T(a,b) $ 的不动点定理，其中压缩条件依赖于一个辅助函数 $ T $。通过将 $ T $-压缩框架推广至锥度量空间，作者在较弱条件下（如 $ T $ 的连续性、单射性及序列收敛性）证明了映射 $ S $ 的不动点存在性与唯一性，且无需假设 $ S $ 的连续性。核心贡献是一个统一的不动点结果，该结果在锥度量空间中推广了巴拿赫、卡南和赖赫型定理。

ABSTRACT

In this paper we study the existence and uniqueness of fixed points of a class of mappings defined on complete, (sequentially compact) cone metric spaces, without continuity conditions and depending on another function.

研究动机与目标

• 将 Beiranvand 等人及 Moradi 的 $ T $-压缩框架扩展至锥度量空间。
• 在不假设映射 $ S $ 连续性的前提下，为一类映射 $ D_T(a,b) $ 建立不动点的存在性与唯一性。
• 通过函数依赖的压缩条件，推广已知的锥度量空间中的不动点结果（如巴拿赫、卡南与赖赫压缩）。
• 通过引入涉及函数 $ T $ 的参数化压缩条件，统一并扩展锥度量空间中的先前结果。

提出的方法

• 在锥度量空间上定义一类新的映射 $ D_T(a,b) $，其中压缩条件涉及函数 $ T $，参数 $ a,b \geq 0 $，且对所有 $ x,y \in M $ 满足 $ d(TSx,TSy) \leq a d(Tx,Ty) + b [d(Tx,TSx) + d(Ty,TSy)] $。
• 利用锥度量空间的结构，其度量取值于具有锥 $ P $ 的实 Banach 空间，并通过 $ P $ 诱导的序关系定义收敛性。
• 假设 $ T $ 连续、单射，且为子序列收敛或序列收敛，以确保迭代序列的收敛性。
• 证明当 $ a + 2b < 1 $ 时，映射 $ S $ 在完备锥度量空间中存在唯一不动点。
• 将结果应用于恢复并推广已知定理：当 $ T = \text{id} $ 时，结果退化为经典的 $ D(a,b) $ 类；当 $ a = 0 $ 时，推广了 $ T $-卡南压缩。
• 利用锥度量空间框架，将度量空间中的结果推广至更一般设定，特别是针对正规或正规锥的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $ T $-压缩框架扩展至锥度量空间，以推广不动点定理？
• RQ2 函数 $ T $ 与参数 $ a,b $ 需满足何种条件，可保证在锥度量空间中映射 $ S $ 的不动点存在且唯一？
• RQ3 在锥度量空间中，$ D_T(a,b) $ 类如何统一并推广已知的压缩类型（如巴拿赫、卡南与赖赫压缩）？
• RQ4 $ T $ 的序列收敛性在确保迭代序列 $ (S^n x_0) $ 收敛至不动点的过程中起何种作用？
• RQ5 当 $ T \neq \text{id} $ 时，映射 $ S $ 在何种条件下具有唯一不动点？该结果如何推广先前的研究？

主要发现

• 若 $ T $ 连续、单射且子序列收敛，且 $ a + 2b < 1 $，则映射 $ S $ 在完备锥度量空间中存在唯一不动点，且满足 $ d(TSx,TSy) \leq a d(Tx,Ty) + b [d(Tx,TSx) + d(Ty,TSy)] $。
• 若 $ T $ 为序列收敛，则对任意 $ x_0 \in M $，序列 $ (S^n x_0) $ 收敛至 $ S $ 的唯一不动点。
• 当 $ T = \text{id} $ 时，结果退化为锥度量空间中已知的 $ D(a,b) $ 类，恢复了 Khan 与 Samanipour（2008）的定理 2.7。
• 当 $ a = 0 $ 且 $ b \in [0, \frac{1}{2}) $ 时，结果推广了 $ T $-卡南压缩，将 Moradi 的工作扩展至锥度量空间。
• 当 $ b = 0 $ 且 $ a < 1 $ 时，结果推广了 $ T $-巴拿赫压缩，将经典巴拿赫压缩原理推广至锥度量空间。
• 该框架统一并推广了多个已知不动点定理，包括 Guang 与 Zhang、Khan 与 Samanipour 以及 Rhoades 在锥度量空间中的结果。