[论文解读] Flat bands and band touching from real-space topology in hyperbolic lattices

Tomáš Bzdušek, Joseph Maciejko|arXiv (Cornell University)|May 23, 2022

Topological Materials and Phenomena参考文献 73被引用 53

一句话总结

本文提出一个统一框架，结合实空间拓扑与双曲能带理论，解释双曲晶格中的平坦能带与能带交叉现象——即kagome与dice晶格的非欧几里得类比。结果表明，在周期性边界条件下，平坦能带占比与能带交叉指数由双曲空间的高亏格拓扑决定，阿贝尔不可约表示控制能带交叉，而非阿贝尔不可约表示则导致相同的平坦能带占比。

ABSTRACT

Motivated by the recent experimental realizations of hyperbolic lattices in circuit quantum electrodynamics and in classical electric-circuit networks, we study flat bands and band-touching phenomena in such lattices. We analyze noninteracting nearest-neighbor hopping models on hyperbolic analogs of the kagome and dice lattices with heptagonal and octagonal symmetry. We show that two characteristic features of the energy spectrum of those models, namely the fraction of states in the flat band as well as the number of touching points between the flat band and the dispersive bands, can both be captured exactly by a combination of real-space topology arguments and a reciprocal-space description via the formalism of hyperbolic band theory. Furthermore, using real-space numerical diagonalization on finite lattices with periodic boundary conditions, we obtain new insights into higher-dimensional irreducible representations of the non-Euclidean (Fuchsian) translation group of hyperbolic lattices. First, we find that the fraction of states in the flat band is the same for Abelian and non-Abelian hyperbolic Bloch states. Second, we find that only Abelian states participate in the formation of touching points between the flat and dispersive bands.

研究动机与目标

• 理解由于负曲率导致缺乏传统动量空间的双曲晶格中平坦能带与能带交叉现象的起源。
• 将此前仅适用于欧几里得晶格的实空间拓扑论证推广至具有周期性边界条件的非欧几里得双曲晶格。
• 通过识别高亏格实空间拓扑的作用，解决欧几里得与双曲平坦能带物理之间的差异。
• 表征双曲能带理论中福克斯群的阿贝尔与非阿贝尔不可约表示对能谱的贡献。
• 结合实空间与双曲动量空间形式，统一描述平坦能带占比与能带交叉指数。

提出的方法

• 使用具有周期性边界条件的有限双曲晶格，模拟体性质并消除边缘效应。
• 应用实空间拓扑论证，识别非欧几里得晶格上的紧凑局域态（CLS）与扩展本征态。
• 采用双曲能带理论（HBT）描述福克斯群的广义布里渊区与不可约表示。
• 执行实空间数值对角化，计算能谱并提取平坦能带占比与能带交叉简并度。
• 分析福克斯群的阿贝尔与非阿贝尔不可约表示在决定能谱特征中的作用。
• 在四种双曲晶格（八边形-kagome、八边形-dice、七边形-kagome与七边形-dice）之间进行比较，其对称性与能带结构各不相同。

实验结果

研究问题

• RQ1 双曲晶格中平坦能带的态占比由什么决定，与欧几里得系统有何不同？
• RQ2 为何某些双曲晶格在平坦能带与色散能带之间出现能带交叉，而另一些则保持能隙？
• RQ3 福克斯群的阿贝尔与非阿贝尔不可约表示如何对能谱产生贡献？
• RQ4 实空间拓扑与双曲能带理论能否结合以解释非欧几里得晶格中的平坦能带现象？
• RQ5 高亏格拓扑在周期性边界条件下对双曲晶格能谱特性有何作用？

主要发现

• 福克斯群的阿贝尔与非阿贝尔不可约表示对应的平坦能带占比完全相同，表明其具有普遍的拓扑起源。
• 平坦能带与色散能带之间的能带交叉点仅由阿贝尔不可约表示引起，而非阿贝尔表示则不会导致此类交叉。
• 对于八边形-kagome晶格，平坦能带占比为1/3，能带交叉指数为1，与欧几里得kagome晶格行为一致。
• 七边形-kagome晶格的平坦能带占比为1/3，能带交叉指数为0，表明其平坦能带是能隙的。
• 八边形-dice晶格的平坦能带占比为5/11，能带交叉指数为2，反映出其更高的配位数与非平凡拓扑。
• 结果表明，双曲晶格的能谱特性由周期性边界条件下的实空间拓扑决定，该拓扑因负曲率而具有高亏格。