[论文解读] Flat bundles, von Neumann algebras and $K$-theory with $\\R/\\Z$-coefficients

Paolo Antonini, Sara Azzali+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文通过相对于有限冯诺依曼代数 $B$ 的相对 $K$-理论，以算子代数方法给出了闭流形 $M$ 上平坦酉表示 $α: π_1(M) \to U_n$ 对应的 $χ/\mathbb{Z}$-系数 $K$-理论类 $[\alpha]$ 的典范构造。关键结果表明，$[\alpha]$ 与椭圆自伴算子 $D$ 的 $K$-同调类的配对等于模 $\mathbb{Z}$ 的 rho 不变量，该结论通过谱流与冯诺依曼迹方法得以建立。

ABSTRACT

Let $M$ be a closed manifold and $\\alpha : \\pi_1(M)\ o U_n$ a representation. We give a purely $K$-theoretic description of the associated element $[\\alpha]$ in the $K$-theory of $M$ with $\\R/\\Z$-coefficients. To that end, it is convenient to describe the $\\R/\\Z$-$K$-theory as a relative $K$-theory with respect to the inclusion of $\\C$ in a finite von Neumann algebra $B$. We use the following fact: there is, associated with $\\alpha$, a finite von Neumann algebra $B$ together with a flat bundle $\\cE\ o M$ with fibers $B$, such that $E_\\a\\otimes \\cE$ is canonically isomorphic with $\\C^n\\otimes \\cE$, where $E_\\alpha$ denotes the flat bundle with fiber $\\C^n$ associated with $\\alpha$. We also discuss the spectral flow and rho type description of the pairing of the class $[\\alpha]$ with the $K$-homology class of an elliptic selfadjoint (pseudo)-differential operator $D$ of order 1.

研究动机与目标

• 提供一个纯粹基于 $K$-理论与算子代数的描述，对闭流形 $M$ 上平坦酉表示 $\alpha$ 对应的 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$-系数 $K$-理论类 $[\alpha]$ 进行构造。
• 建立 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$-系数 $K$-理论与包含关系 $\mathbb{C} \hookrightarrow B$ 相关的相对 $K$-理论之间的典范同构，其中 $B$ 是 ${\rm II}_1$-因子。
• 通过冯诺依曼迹与联络方法，将 $[\alpha]$ 与椭圆自伴算子 $D$ 的 $K$-同调类的配对计算为谱流与模 $\mathbb{Z}$ 的 rho 不变量。
• 通过将上同调构造替换为算子代数模型，推广阿蒂yah–帕托迪–辛格指标定理至平坦丛的情形。

提出的方法

• 利用相对 $K$-理论 $K_*(A \to A \otimes B)$，其中 $B$ 是 ${\rm II}_1$-因子，通过单位包含 $\mathbb{C} \hookrightarrow B$ 的映射锥，将 $K^*(M; \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 建模为相对 $K$-理论。
• 从 $\alpha$ 构造一个纤维为 $B$ 的平坦丛 $\mathcal{E} \to M$，使得 $E_\alpha \otimes \mathcal{E} \cong \mathbb{C}^n \otimes \mathcal{E}$，从而在 $K^1(M; \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 中实现对类 $[\alpha]$ 的典范识别。
• 将与 $[D] \in K_1(M)$ 的配对实现为卡斯帕罗夫积，并利用算子路径的谱流计算模 $\mathbb{Z}$ 的 rho 不变量。
• 通过冯诺依曼迹与热核迹定义 eta 与 rho 不变量，利用谱 zeta 函数的 $\varepsilon$-正则化确保局部项的收敛性。
• 通过 $C^*$-代数在布施卡分类中的 Künneth 性质，证明该模型与 $B$ 的选择无关。
• 通过算子代数方法定义的 $K$-理论（系数为 $\mathbb{Q}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$）建立该模型与经典模型（如 APS、Karoubi、Lott）之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅通过 $K$-理论与冯诺依曼代数，而不使用上同调工具，对平坦酉表示 $\alpha$ 对应的 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$-系数 $K$-理论类 $[\alpha]$ 进行构造？
• RQ2 在平坦丛的背景下，自伴椭圆算子路径的谱流与模 $\mathbb{Z}$ 的 rho 不变量之间的确切关系为何？
• RQ3 能否将 $[\alpha]$ 与椭圆算子 $D$ 的 $K$-同调类 $[D]$ 的配对实现为卡斯帕罗夫积，并表达为 rho 不变量？
• RQ4 冯诺依曼迹与热核迹如何在 $B$-丛的非交换设定下，一致地定义 $\eta$-不变量与 $\xi$-不变量？
• RQ5 所提出的 $K^*(M; \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 模型是否通过典范同构与阿蒂yah–帕托迪–辛格模型等价？

主要发现

• 类 $[\alpha] \in K^1(M; \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 作为相对 $K$-理论 $K_*(\mathbb{C} \to \mathbb{C} \otimes B)$ 中的元素被典范构造，其中 $B$ 是 ${\rm II}_1$-因子，且由于 Künneth 性质，该构造与 $B$ 的选择无关。
• $[\alpha]$ 与 $[D] \in K_1(M)$ 的配对被证明等于模 $\mathbb{Z}$ 的 rho 不变量 $\rho(\alpha, D)$，该结果通过谱流与热核的 $\varepsilon$-正则化迹得到验证。
• 自伴算子路径的谱流 $\mathrm{sf}_a(G_0, G_1)$ 用于计算 $K_1(C_0(]0,1[) \otimes B)$ 中 $(V, \varphi(G))$ 的类，当 $\mathrm{sf}_a(G_0, G_1) = \lambda$ 时，结果为 $j(\lambda)$。
• 具有有限冯诺依曼代数 $B$ 系数的算子的 $\eta$-不变量通过迹 $\mathrm{Tr}_N$ 定义，其 $\varepsilon$-正则化收敛于涉及陈–西蒙斯类的局部项。
• 通过谱流的局部性与 $G_0, G_1$ 被同一平坦丛扭的性质，建立了公式 $\theta(G_0, G_1) = 0$，从而与 APS 指标定理保持一致。
• 通过包含关系 $\mathbb{C} \hookrightarrow B$ 的相对 $K$-理论建立的 $K^*(M; \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 模型，被证明与经典 APS 模型及其他模型（如 Karoubi、Lott）通过典范同构等价。