[论文解读] Flat connections and (co)modules

Tomasz Brzeziński|ArXiv.org|Aug 7, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文建立了由纠缠结构构造的余环上的余模与非交换微分几何中平坦联络之间的普遍对应关系。通过将反-Yetter-Drinfeld模与Yetter-Drinfeld模解释为通过$C$-环具有平坦联络的余模，该研究在单一框架下统一了霍普夫-循环上同调模，将先前结果推广到更广泛的代数设定，并应用于半无限上同调。

ABSTRACT

The relationship between comodules of a coring and flat connections is reviewed. In particular we specialise to corings which are built on a tensor product of algebra and a coalgebra. Such corings are in one-to-one correspondence with entwining structures, and their comodules are entwined modules. These include Yetter-Drinfeld and anti-Yetter-Drinfeld modules and their generalisations, hence all the modules of interest to Hopf-cyclic cohomology. In this way the interpretation of the latter as modules with flat connections [A Kaygun and M Khalkhali, Hopf modules and noncommutative differential geometry, Lett. Math. Phys. 76 (2006), 77--91] is obtained as a corollary of a more general theory. We also introduce the notions of a connection in a comodule and of a bicomodule connection, and show how comodules with flat connections can be interpreted as modules of a C-ring. In this way all the above mentioned Hopf modules can be interpreted as comodules with flat connections.

研究动机与目标

• 将霍普夫型模（如Yetter-Drinfeld模与反-Yetter-Drinfeld模）统一解释为具有平坦联络的余模。
• 通过余环与$C$-环，推广平坦联络与模之间在非交换几何中的联系。
• 通过在余模与双余模中引入联络，提供对偶视角，将已知结果扩展至余代数框架。
• 证明纠缠模（包括与霍普夫-循环上同调相关的模）自然地作为通过$C$-环具有平坦联络的余模出现。
• 将该框架与半无限上同调联系起来，表明$C$-环是此类上同调理论的自然代数语言。

提出的方法

• 从代数$A$与余代数$C$构造余环$\mathcal{C} = A \otimes C$，配备余乘法$\Delta_{\mathcal{C}}(a \otimes c) = a \otimes 1 \otimes c$与余元$\varepsilon_{\mathcal{C}}(a \otimes c) = \mu(a \otimes c)$，形成$A$-余环。
• 利用Roiter定理，建立具有拟群元素的余环与半自由微分分次代数$\Omega A = T_A(\Omega^1 A)$之间的双射对应。
• 通过从右余作用$\varrho^M: M \to M \otimes_A \mathcal{C}$导出的平坦联络$\nabla: M \to M \otimes_A \mathcal{C}$，引入余模中联络的概念。
• 定义$C$-环$\mathcal{A} = C \otimes A$，包含乘法与单位，表明纠缠模同构于右$\mathcal{A}$-模。
• 对$\overline{\mathcal{A}} = C \otimes \overline{A}$（其中$\overline{A} = A/k1$）应用余微分$\lambda$，通过特征$\kappa = \varepsilon \otimes \chi$定义平坦联络。
• 通过设定$\mathcal{A}_{aYD} = H \otimes H$，$\kappa = \varepsilon \otimes \varepsilon$，特化至反-Yetter-Drinfeld模，推导出联络的显式形式$\nabla(m \otimes \overline{a}) = ma - m\varepsilon(a)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 纠缠模（包括Yetter-Drinfeld模与反-Yetter-Drinfeld模）如何能系统地描述为具有平坦联络的余模？
• RQ2 $C$-环在为余模中的平坦联络提供对偶代数框架中起到什么作用？
• RQ3 平坦联络与余模之间的对应关系如何从霍普夫代数推广到纠缠结构？
• RQ4 对$\overline{\mathcal{A}}$的余微分能否以统一已知霍普夫-循环上同调示例的方式定义平坦联络？
• RQ5 $C$-环以何种方式自然编码了半无限上同调及其相关模的结构？

主要发现

• 纠缠模（包括反-Yetter-Drinfeld模与Yetter-Drinfeld模）被证明是余环$\mathcal{C} = A \otimes C$上的余模，其平坦联络由余作用自然产生。
• 建立了模块上的平坦联络与具有拟群元素的余环上的非余元右余作用之间的双射对应。
• $C$-环$\mathcal{A^} = C \otimes A$提供了一个对偶框架，其中纠缠模是$\mathcal{A}$-模，且平坦联络通过余微分$\lambda$诱导。
• 对于霍普夫代数$H$上的反-Yetter-Drinfeld模，平坦联络显式给出为$\nabla(m \otimes \overline{a}) = ma - m\varepsilon(a)$，当$H$为交换代数时该联络为零。
• 余微分$\lambda(c \otimes \overline{a}) = S^{-1}(a_{(1)}) c a_{(2)} - \varepsilon(a)c$由$C$-环结构与特征$\kappa = \varepsilon \otimes \varepsilon$导出，从而产生平坦联络。
• 该框架推广了Kaygun与Khalkhali的结果，表明霍普夫-循环上同调模自然地通过$C$-环构造被解释为具有平坦联络的模。