[论文解读] Flat rank 2 vector bundles on genus 2 curves

Viktoria Heu, Frank Loray|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用 6

一句话总结

本文构建并研究了亏格 2 曲线上迹为零的不可约秩 2 连接的模空间，利用双椭圆对合将这些连接下降为黎曼球面上的对数连接。一个关键贡献是显式构造了从连接到其底层面丛的遗忘映射的拉格朗日有理截面，该构造解释了几何现象，如库默尔曲面的经典 (16,6)-构型，并通过一个 2 度覆盖重新获得了博洛涅西的 Poincaré 家族。

ABSTRACT

We study the moduli space of trace-free irreducible rank 2 holomorphic connections over a complex projective curve of genus 2 and the forgetful map towards the moduli space of underlying vector bundles (including unstable bundles), for which we compute a natural Lagrangian rational section. As a particularity of the genus $2$ case, connections as above are invariant under the hyperelliptic involution : they descend as rank $2$ logarithmic connections over the Riemann sphere. We establish explicit links between the well-known moduli space of the underlying parabolic bundles with the classical approaches by Narasimhan-Ramanan, Tyurin and Bertram. This allow us to explain a certain number of geometric phenomena in the considered moduli spaces such as the classical $(16,6)$-configuration of the Kummer surface. We also recover a Poincaré family due to Bolognesi on a degree 2 cover of the Narasimhan-Ramanan moduli space. We explicitly compute the Hitchin integrable system on the moduli space of Higgs bundles and compare the Hitchin Hamiltonians with those found by vanGeemen-Previato. We explicitly describe the isomonodromic foliation in the moduli space of vector bundles with $\mathfrak{sl}_2({\mathbb C})$-connection over curves of genus 2 and prove the transversality of the induced flow with the locus of unstable bundles.

研究动机与目标

• 构建并分析亏格 2 曲线上迹为零的不可约秩 2 连接的模堆栈。
• 理解从连接到其底层面丛的遗忘映射，特别是其几何结构以及不稳定丛的作用。
• 利用双椭圆对合，将亏格 2 曲线上的平坦连接与黎曼球面上的对数连接联系起来。
• 通过抛物丛的模空间解释经典几何构型，如库默尔曲面的 (16,6)-构型。
• 在 Narasimhan-Ramanan 模空间的 2 度覆盖上重新获得并重新解释博洛涅西的 Poincaré 家族。

提出的方法

• 利用亏格 2 曲线上的双椭圆对合，通过商映射 π: X → P¹，将平坦秩 2 连接下降为黎曼球面上的对数连接。
• 通过魏尔斯特拉斯点的临界除子，建立 X 上平坦连接与 X/ι = P¹ 上抛物对数连接之间的直接代数对应关系。
• 为连接的模堆栈构造显式图册，并在商空间上定义明显映射，以分析遗忘态射。
• 显式计算希钦丛模空间上的希钦可积系统，将哈密顿量与 van Geemen-Previato 的结果进行比较。
• 应用达布坐标与哈密顿系统研究等单值变形，并证明等单值叶状结构与 Gunning 丛的子簇横截。
• 利用射影结构与 Schwarz 导数，将 Gunning 丛上的连接与单值表示联系起来，从而给出海哈尔定理的新证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 双椭圆对合如何使亏格 2 曲线上的平坦秩 2 连接下降为 P¹ 上的对数连接？
• RQ2 从连接模空间到向量丛模空间的遗忘映射的几何结构是什么？它是否允许自然截面？
• RQ3 如何通过抛物丛与连接的模空间解释库默尔曲面的 (16,6)-构型？
• RQ4 希钦丛模空间上的希钦系统与 van Geemen-Previato 的经典公式之间的确切关系是什么？
• RQ5 等单值叶状结构是否与不稳定 Gunning 丛的子簇横截？这与海哈尔定理有何关联？

主要发现

• 从迹为零的秩 2 连接模空间到向量丛模空间的遗忘映射，通过双椭圆下降构造了自然的拉格朗日有理截面。
• 所有亏格 2 曲线上不可约的平坦秩 2 连接在双椭圆对合下不变，并下降为 P¹ 上在魏尔斯特拉斯点处有极点的对数连接。
• P¹ 上抛物丛的模空间与 X 上连接的模空间同构，从而为库默尔曲面的经典 (16,6)-构型提供了几何实现。
• 本文通过双椭圆对应关系，在 Narasimhan-Ramanan 模空间的 2 度覆盖上重新获得了博洛涅西的 Poincaré 家族。
• 在希钦丛模空间上显式计算希钦哈密顿量，确认其与 van Geemen-Previato 公式一致。
• 等单值叶状结构与 Gunning 丛子簇横截，从而为海哈尔定理关于单值映射的局部微分同胚性质提供了新证明。