[论文解读] Flat Spacetimes with Compact Hyperbolic Cauchy Surfaces

Francesco Bonsante|ArXiv.org|Nov 3, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文将 Mess 关于具紧致双曲 Cauchy 曲面的平坦洛伦兹时空理论推广至高维，为每个 holonomy 表示 $ \rho $ 构造了一个规范的未来完备时空 $ Y_{\rho} $。它建立了 $ \Gamma $-不变的双曲空间中的测地线分层与这类时空过去奇点之间的对偶性，将二维中测度叶状结构与时空之间已知的对应关系推广至高维，特别是针对单纯形奇点的情形。

ABSTRACT

In this paper we study the flat (n+1)-spacetimes admitting a Cauchy surface diffeomorphic to a compact hyperbolic n-manifold. We show how to construct a canonical future complete one among all such spacetimes sharing the same holonomy. We study the geometry of such a spacetime in terms of its canonical cosmological time. In particular we study the asymptotic behaviour of the level surfaces of the cosmological time. The present work generalizes the case n=2 treated by Mess, taking from a work of Benedetti and Guadagnini the emphasis on the fundamental role played by the canonical cosmological time.

研究动机与目标

• 将 Mess 在二维中对具紧致双曲 Cauchy 曲面的平坦洛伦兹时空的分类结果推广至任意维度 $ n \geq 2 $。
• 为每个 holonomy 表示 $ \rho $ 构造一个规范的未来完备时空 $ Y_{\rho} $，使用宇宙学时间作为规范的时间函数。
• 建立 $ \Gamma $-不变的双曲空间 $ \mathbb{H}^n $ 中的测地线分层与这类时空过去奇点之间的对偶性。
• 将二维中测度测地线叶状结构与时空之间已知的对应关系推广至高维，特别是针对具有单纯形奇点的时空。

提出的方法

• 在未来完备时空上定义一个规范的宇宙学时间（CT）函数 $ \tau $，该函数有限、沿因果曲线递增，并沿不可延拓的过去指向因果曲线趋于零。
• 将依赖域 $ \mathcal{D}_{\tau} $ 构造为闵氏空间 $ \mathbb{M}^{n+1} $ 中唯一的 $ \Gamma_{\tau} $-不变凸区域，其中 $ \Gamma_{\tau} $ 是 holonomy 群 $ \Gamma \subset \mathrm{SO}^+(n,1) $ 的仿射形变。
• 为每个此类时空关联一个 $ \Gamma $-不变的双曲空间 $ \mathbb{H}^n $ 中的测地线分层，该分层通过 CT 等值面 $ \widetilde{S}_a = \tau^{-1}(a) $ 的高斯映射定义。
• 利用依赖域过去奇点的结构，定义一个对偶的实树，该树通过 Skora 的对偶定理与测地线分层对偶。
• 证明对于具有单纯形奇点的时空，$ \Gamma $-不变的测度单纯形分层与此类时空之间存在双射关系。
• 建立从时空几何重构测度测地线分层的条件，特别是通过收缩映射 $ N: \widetilde{S}_1 \to \mathbb{H}^n $ 及路径导数的前推来定义横截测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 Mess 在二维中建立的测度测地线叶状结构与未来完备平坦时空之间的对偶性，能否推广至高维？
• RQ2 如何利用规范的宇宙学时间函数来参数化和分类高维中具紧致双曲 Cauchy 曲面的未来完备平坦时空？
• RQ3 在高维闵氏时空的未来完备依赖域过去奇点的几何结构是什么？
• RQ4 在何种条件下，$ \mathbb{H}^n $ 中的 $ \Gamma $-不变测地线分层对应于具有明确定义且正则的宇宙学时间的时空？
• RQ5 是否存在 $ \mathbb{H}^n $ 中 $ \Gamma $-不变的测度单纯形分层与具有单纯形奇点的未来完备时空之间的双射对应？

主要发现

• 对每个上循环 $ \tau \in Z^1(\Gamma, \mathbb{R}^{n+1}) $，存在唯一的未来完备且正则的区域 $ \mathcal{D}_{\tau} \subset \mathbb{M}^{n+1} $，其为 $ \Gamma_{\tau} $-不变，推广了二维情形。
• 宇宙学时间函数的等值面 $ \widetilde{S}_a = \tau^{-1}(a) $ 是严格凸的，其高斯映射生成了 $ \mathbb{H}^n $ 中的 $ \Gamma $-不变测地线分层。
• 依赖域过去奇点是一个实树，与测地线分层对偶，且 $ \Gamma $ 在该树上的作用是其在 $ \widetilde{S}_a $ 上作用的 Gromov 极限（当 $ a \to 0 $ 时）。
• 对于具有单纯形奇点的时空，$ \mathbb{H}^n $ 中 $ \Gamma $-不变的测度单纯形分层与此类时空之间存在双射关系，如推论 9.11 所示。
• 对于 $ n \geq 3 $，从 CT 等值面的收缩构造横截测度的方法一般会失败，原因在于二维中使用的关键不等式在高维中不成立。
• 对于 $ n \geq 3 $，测度测地线分层与时空之间的对应关系在一般情形下仍为开放问题，尽管对单纯形奇点类成立。