[论文解读] Floer homology and Lagrangian concordance

Baptiste Chantraine, Georgios Dimitroglou Rizell+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文证明了在标准接触球面中，具有精确拉格朗日子流形填充的勒格朗日同痕关系会诱导双线性化勒格朗日接触上同调的同构，从而在所有维度中证明了非可逆同痕关系的存在。此外，本文还完全分类了在紧致接触三维球面中，从勒格朗日单位圆周到自身的所有精确拉格朗日同痕关系，其结果均为勒格朗日同痕的迹。

ABSTRACT

We derive constraints on Lagrangian concordances from Legendrian submanifolds of the standard contact sphere admitting exact Lagrangian fillings. More precisely, we show that such a concordance induces an isomorphism on the level of bilinearised Legendrian contact cohomology. This is used to prove the existence of non-invertible exact Lagrangian concordances in all dimensions. In addition, using a result of Eliashberg-Polterovich, we completely classify exact Lagrangian concordances from the Legendrian unknot to itself in the tight contact-three sphere: every such concordance is the trace of a Legendrian isotopy. We also discuss a high dimensional topological result related to this classification.

研究动机与目标

• 理解标准接触球面中勒格朗日子流形之间拉格朗日同痕关系的刚性现象。
• 当负端具有精确拉格朗日填充时，利用双线性化勒格朗日接触上同调推导对同痕关系的约束。
• 在所有维度中证明非可逆精确拉格朗日同痕关系的存在性。
• 在紧致接触三维球面中，完全分类从勒格朗日单位圆周到自身的所有精确拉格朗日同痕关系。
• 通过自旋构造建立与同痕分类相关的高维拓扑结果。

提出的方法

• 使用双线性化勒格朗日接触上同调作为具有由精确拉格朗日填充诱导的增强结构的勒格朗日子流形的不变量。
• 应用定理1.1，该定理表明拉格朗日同痕关系在由精确填充诱导的增强结构下会诱导双线性化上同调的同构。
• 采用Künneth型公式（定理2.11），通过与球面上同调的张量积来计算自旋勒格朗日子流形的上同调。
• 通过在已知例子（如勒格朗日纽结 $\Lambda_{m(9_{46})}$）上进行 $S^m$-自旋操作，构造勒格朗日子流形，以生成高维示例。
• 当负端为松散时，利用精确拉格朗日钴姆比斯的 $h$-原理，将注意力限制在非松散可填充勒格朗日子流形上。
• 应用Eliashberg-Polterovich的结果，将三维中从勒格朗日单位圆周到自身的同痕关系分类为同痕的迹。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有精确填充的勒格朗日子流形之间的拉格朗日同痕关系是否可能不可逆？
• RQ2 双线性化勒格朗日接触上同调对拉格朗日同痕关系施加了何种约束？
• RQ3 在 $S^3$ 中，从勒格朗日单位圆周到自身的所有精确拉格朗日同痕关系是否都是勒格朗日同痕的迹？
• RQ4 勒格朗日子流形的 $S^m$-自旋构造下，双线性化上同调如何变化？
• RQ5 在高维中，逆同痕关系的存在性面临何种拓扑障碍？

主要发现

• 具有精确填充的勒格朗日子流形之间的拉格朗日同痕关系，对于由这些填充诱导的增强结构，会诱导双线性化勒格朗日接触上同调的同构。
• 在所有维度中均存在非可逆的精确拉格朗日同痕关系，通过构造反例表明：若存在逆同痕关系，则会违反上同调约束。
• 在紧致接触三维球面中，从勒格朗日单位圆周到自身的每个精确拉格朗日同痕关系都是勒格朗日同痕的迹。
• $\Lambda_{m(9_{46})}$ 的 $S^m$-自旋勒格朗日子流形与自旋单位圆周之间存在同痕关系，但反之不成立，原因在于 $LCH^{-1}_{\varepsilon_0,\varepsilon_1}(\Sigma_{S^m}\Lambda) \neq 0$。
• 对任意 $m_1, \dots, m_k \in \mathbb{N}$，存在微分同胚于 $S^1 \times S^{m_1} \times \cdots \times S^{m_k}$ 的可填充勒格朗日子流形 $\Lambda_1, \Lambda_2$，使得存在从 $\Lambda_1$ 到 $\Lambda_2$ 的同痕关系，但反向不存在。
• 自旋勒格朗日子流形 $\Sigma_{S^m}\Lambda_{0}$ 的双线性化上同调在所有增强对下于负度为零，这在源流形具有非平凡负上同调时阻碍了逆同痕关系的存在。