[论文解读] Floer homology on the universal cover, a proof of Audin's conjecture and other constraints on Lagrangian submanifolds

Mihai Damian|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文在辛流形中单调拉格朗日子流形的万有覆叠上引入了弗洛尔同调的新版本，证明了若此类拉格朗日子流形的万有覆叠上奇数阶同调为零，则其 Maslov 数 $N_L = 2$。此外，本文建立了拓扑约束：若 $N_L = n+1$，则 $L$ 同胚于球面或以球面为纤维的圆纤维丛，从而在单调情形下解决了奥丁猜想。

ABSTRACT

We establish a new version of Floer homology for monotone Lagrangian submanifolds and apply it to prove the following (generalized) version of Audin's conjecture : if $L$ is an aspherical manifold which admits a monotone Lagrangian embedding in ${\bf C^{n}}$, then its Maslov number equals $2$. We also prove other results on the topology of monotone Lagrangian submanifolds $L\subset M$ of maximal Maslov number under the hypothesis that they are displaceable through a Hamiltonian isotopy.

研究动机与目标

• 在辛流形中单调拉格朗日子流形的万有覆叠上建立新的弗洛尔同调理论。
• 证明当万有覆叠为非双曲或奇数阶同调为零时，强制 Maslov 数 $N_L = 2$。
• 对具有最大 Maslov 数 $N_L = n+1$ 或 $N_L = n$ 的拉格朗日子流形提供精确的拓扑刻画。
• 在 $\mathbb{C}^n$ 及相关辛流形中，解决单调拉格朗日子流形的奥丁猜想。
• 证明在 $T^*\mathbb{S}^{2k+1}$ 中，若 Maslov 类为零，则其精确拉格朗日子流形同胚于 $\mathbb{S}^{2k+1}$。

提出的方法

• 利用拉格朗日子流形的万有覆叠构造新的弗洛尔同调版本。
• 利用万有覆叠上奇数阶同调为零的性质，约束 Maslov 指标并强制得出 $N_L = 2$。
• 应用同伦群的长正合列分析当 $N_L = n+1$ 时的纤维丛与同伦型。
• 利用单调拉格朗日子流形在 $\mathbb{C}^n$ 或 $\mathbb{CP}^n$ 中可通过哈密顿同伦位移的性质，将结果推广至 $\mathbb{C}^n$ 之外。
• 利用典范同态 $p: \pi_2(M,L) \to \pi_2(M,K)$，通过余切丛将 Maslov 数与辛面积包含关系联系起来。
• 应用福崎、大岛、太田与大野关于 $\mathbb{Z}$-同调球面的结果，以加强拓扑结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 当拉格朗日子流形的万有覆叠上奇数阶同调为零时，会引致何种拓扑约束？
• RQ2 奥丁猜想——即满足 $N_L = n+1$ 的拉格朗日子流形为同伦球面——是否可在单调情形下得到证明？
• RQ3 具有最大 Maslov 数 $N_L = n+1$ 的单调拉格朗日子流形的精确拓扑结构为何？
• RQ4 在 $T^*\mathbb{S}^{2k+1}$ 中，Maslov 类为零的精确拉格朗日子流形与标准球面有何关系？
• RQ5 在 $T^*K$ 中，何种条件下拉格朗日子流形会继承 $K$ 的单调性与 Maslov 数？

主要发现

• 若 $L$ 为非双曲或对所有 $i$ 满足 $H_{2i+1}(\widetilde{L}; \mathbb{Z}/2) = 0$，则 $N_L = 2$。
• 当 $N_L = n+1$ 时，$L$ 同胚于球面 $\mathbb{S}^{2n+1}$；当 $N_L = n \geq 6$ 时，$L$ 为以 $\mathbb{S}^{2n-1}$ 同胚于纤维的圆纤维丛。
• 在 $T^*\mathbb{S}^{2k+1}$ 中，若 Maslov 类为零，则任意精确拉格朗日子流形同胚于 $\mathbb{S}^{2k+1}$。
• 当 $K = \mathbb{RP}^{2k+1}$ 时，任意在 $T^*K$ 中满足 Maslov 类为零的精确拉格朗日子流形 $L$ 必有 $\pi_1(L) \to \pi_1(K)$ 为满射，且 $L$ 同胚于 $\mathbb{S}^{2k+1}$。
• 若 $N_L = n+1$，则拉格朗日子流形的万有覆叠为同伦球面；若 $N_L = n \geq 6$，则其万有覆叠为维数 $2n-1$ 的同伦球面。
• 结果可推广至通过哈密顿同伦可位移的紧致子集的辛流形，包括 $\mathbb{C}^n$、$\mathbb{CP}^n$ 以及 $T^*K$。