[论文解读] Floer theory on open manifolds

Yoel Groman|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Geometric and Algebraic Topology被引用 11

一句话总结

本文为开辛向量流形上的弗洛尔理论引入了一种新形式体系，通过弗洛尔数据的共终集合定义了普遍的辛上同调不变量。通过一种新颖的几何方法控制轨迹的直径，该研究证明了普遍辛上同调在利乌ville区域上恢复了现有的辛上同调，并得出了关于周期轨道存在的新结果。

ABSTRACT

We define a class of symplectic manifolds which includes all geometrically bounded symplectic manifolds. In this class we develop a formalism for Floer theory. We show that such a manifold carries a cofinal symplectically invariant set of Floer data which allow the definition of Floer complexes. Moreover, the set of all such Floer complexes forms a directed system. This gives rise to a symplectic invariant we call universal symplectic cohomology. We show that symplectic cohomology as hitherto defined for Liouville domains coincides with universal symplectic cohomology. We discuss applications to the problem of nearby existence of periodic orbits. The results rest on a novel approach to controlling the diameters of Floer trajectories.

研究动机与目标

• 将弗洛尔理论系统性地推广到一大类开辛向量流形，包括几何有界的流形。
• 定义一种辛不变量——普遍辛上同调——以推广现有的构造。
• 从弗洛尔数据的共终集合出发，建立弗洛尔复形的定向系统。
• 为在非紧致辛几何设定下研究周期轨道提供一个框架。
• 解决在非紧致流形上控制弗洛尔轨迹几何的若干技术难题。

提出的方法

• 引入一类在特定几何有界性下封闭的辛流形类，推广了几何有界流形的概念。
• 定义一组共轭的、辛不变的弗洛尔数据，确保构造的一致性与完备性。
• 从该数据构造弗洛尔复形，并在包含或精化关系下形成一个定向系统。
• 开发一种新方法，以控制弗洛尔轨迹的直径，这对紧致性与收敛性至关重要。
• 利用弗洛尔复形的定向系统，通过取直极限的方式定义普遍辛上同调。
• 将该形式体系应用于通过上同调不变量证明周期轨道的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 弗洛尔理论能否在利乌ville区域之外的开辛流形上系统性地发展？
• RQ2 在缺乏紧致性的情况下，如何定义一个规范的辛上同调不变量？
• RQ3 何种几何条件可确保存在一个共终的弗洛尔数据集合，以保证弗洛尔同调的一致性？
• RQ4 新的普遍辛上同调与利乌ville区域上已有的辛上同调有何关系？
• RQ5 该形式体系能否检测到非紧致辛流形中周期轨道的存在？

主要发现

• 本文为一大类开辛流形（包括所有几何有界流形）构造了普遍辛上同调。
• 证明了在利乌ville区域上，普遍辛上同调与标准辛上同调一致。
• 共轭的、辛不变的弗洛尔数据集合的存在性，确保了构造的一致性与普遍性。
• 弗洛尔复形的定向系统使得一个行为良好的极限对象——普遍辛上同调——得以定义。
• 对轨迹直径的新型控制方法，使得在非紧致设定下定义上同调所必需的紧致性论证成为可能。
• 该框架通过上同调不变量，得出了关于辛流形中周期轨道附近存在的新结果。