[论文解读] Floor diagrams relative to a conic, and GW-W invariants of Del Pezzo surfaces

Erwan Brugallé|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 46被引用 29

一句话总结

本论文通过相对于圆锥的阶梯图，计算了 Del Pezzo 曲面 $X_n$（$n=6,7,8$）的 Gromov-Witten 和 Welschinger 不变量，方法基于对 $inom{X}_n$（即 $inom{C}P^2$ 在圆锥上 $n$ 个点处的爆破）中曲线的枚举。该方法利用 Li 的退化公式及其实版本，实现了任意亏格下不变量的显式计算，并为 $X_8$ 提供了新结果，包括首次显式计算出 $X_8$ 在正亏格下的 Gromov-Witten 不变量。

ABSTRACT

We enumerate, via floor diagrams, complex and real curves in the projective plane blown up in $n$ points on a conic. As an application, we deduce Gromov-Witten and Welschinger invariants of Del Pezzo surfaces. These results are mainly obtained using Li's degeneration formula and its real counterpart.

研究动机与目标

• 计算 $X_n$（$n=6,7,8$）在任意亏格下的 Gromov-Witten 与 Welschinger 不变量。
• 在 $inom{X}_n$（即 $inom{C}P^2$ 在圆锥上 $n$ 个点处的爆破）中构造有效点配置，以实现复曲线与实曲线的同时枚举。
• 将阶梯图的应用扩展至相对于圆锥的相对情形，尤其适用于实枚举几何。
• 首次显式计算出 $X_8$ 在正亏格下的 Gromov-Witten 不变量，解决了长期存在的开放问题。
• 通过组合结构建立热带 Welschinger 不变量、精化 Severi 度与实不变量之间的联系。

提出的方法

• 使用相对于圆锥的阶梯图，枚举 $inom{X}_n$（即 $inom{C}P^2$ 在圆锥上 $n$ 个点处的爆破）中的复曲线与实曲线。
• 应用 Li 的退化公式及其对应的实版本，通过退化为更简单曲面的并集，将 $X_n$ 的不变量约化为 $inom{X}_n$ 的不变量。
• 采用 Abramovich-Bertram-Vakil 公式及其对应的实版本，在退化后计算不变量，避免多重覆盖问题。
• 构造 $inom{X}_n$ 中的有效点配置，使得通过给定同调类与亏格的曲线数量为有限且可计算。
• 利用关键退化中无分支覆盖（如 $X_6$、$X_7$）的性质，确保方法可推广至 $X_8$，而受控的正规分支覆盖则通过 [SS13] 处理。
• 将结果推广至任意实结构与 $s$-不变量，未来可进一步扩展至精化不变量与热带不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用组合工具显式计算 Del Pezzo 曲面 $X_n$ 在任意亏格下的 Gromov-Witten 不变量？
• RQ2 相对于圆锥的阶梯图在枚举 $inom{C}P^2$ 爆破中的实曲线与复曲线时起到何种作用？
• RQ3 在缺乏先前显式结果的情况下，能否利用退化技术计算 $X_8$ 在正亏格下的 Welschinger 不变量？
• RQ4 热带 Welschinger 不变量与本文计算的精化不变量之间存在何种关系？
• RQ5 Welschinger 不变量的符号在不同实结构与曲面实部分的拓扑类型下如何变化？

主要发现

• 本论文首次显式计算出 $X_8$ 在正亏格下的 Gromov-Witten 不变量，是该领域的重要进展。
• 定理 4.1 与 4.3 通过 $inom{X}_6$ 中的枚举，结合退化与阶梯图，计算了 $X_6$ 的 Gromov-Witten 与 Welschinger 不变量。
• 定理 6.6 与 6.9 将方法推广至 $X_7$，将其不变量约化为 $inom{X}_6 \cup \binom{X}_2$ 中的不变量，且无多重覆盖。
• 定理 7.2 与 7.5 将方法推广至 $X_8$，采用退化至 $inom{X}_{6,1} \cup \binom{X}_2$ 的方式，通过 [SS13] 处理由正规分支覆盖引起的复杂性。
• 推论 4.4、4.5、6.10、6.11、7.6、7.7 与 7.8 推导出关于 Welschinger 不变量符号、紧致性与算术性质的新结果。
• 本文建立：当 $s=0$ 时，$X_3$ 的 Welschinger 不变量与热带 Welschinger 不变量一致，暗示存在更深层次的理论联系。