[论文解读] The open Gromov-Witten-Welschinger theory of blowups of the projective plane

Asaf Horev, Jake P. Solomon|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用 26

一句话总结

本论文通过开Gromov-Witten不变量与广义WDVV方程，建立了一种递归算法，用于计算复射影平面在任意实点与共轭点对配置下的Welschinger不变量。关键贡献在于：仅通过闭Gromov-Witten不变量与有限组初始值，即可完全重构所有不变量，从而实现对del Pezzo与非del Pezzo情形的显式计算。

ABSTRACT

We compute the Welschinger invariants of blowups of the projective plane at an arbitrary conjugation invariant configuration of points. Specifically, open analogues of the WDVV equation and Kontsevich-Manin axioms lead to a recursive algorithm that reconstructs all the invariants from a small set of known invariants. Example computations are given, including the non-del Pezzo case.

研究动机与目标

• 计算复射影平面在任意共轭对称点配置下的实blowups的Welschinger不变量。
• 将Kontsevich-Manin公理化框架扩展至实辛几何中的开Gromov-Witten不变量。
• 建立一种递归算法，从有限组初始值与闭Gromov-Witten不变量中重构所有Welschinger不变量。
• 利用热带几何与代数几何方法，验证低次情形下结果的一致性。

提出的方法

• 通过在反辛对合的固定点集上取边界条件的J-全纯盘模空间，将开Gromov-Witten不变量适配至实辛流形。
• 应用广义WDVV方程与开Kontsevich-Manin公理，推导开不变量的递归关系。
• 以Göttsche与Pandharipande计算出的blowup空间的闭Gromov-Witten不变量作为输入数据。
• 基于关系式(OGW1)–(OGW5)的递归算法，从初始值计算开不变量。
• 利用分次与消去条件，减少需直接计算的情形数量。
• 在Maple中实现该算法，计算多种度数与点配置下的显式不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从有限组初始值完全重构CP²在任意实点与共轭点对配置下的Welschinger不变量？
• RQ2 在实辛几何设定下，开Gromov-Witten不变量如何满足广义WDVV方程与Kontsevich-Manin公理？
• RQ3 开Gromov-Witten不变量与0亏格下的Welschinger不变量之间的确切关系为何？
• RQ4 在非del Pezzo情形（如r+2s > 6）下，不变量的行为如何？
• RQ5 递归结构能否被用于高效计算不变量，并与热带几何结果保持一致？

主要发现

• CP²_{r,s}的Welschinger不变量完全由开Kontsevich-Manin公理、开WDVV方程、CP²_{r+2s}的闭Gromov-Witten不变量以及有限组初始值决定。
• 该算法成功计算了非del Pezzo情形的不变量，包括度数8及以上的情形，例如Γ_{[8,(2⁵),0],13} = -2,824,394,880。
• 当r=10, s=0时，不变量Γ_{[10,(3⁵),0],14} = -276,649,331,840，表明该方法可延伸至低次情形之外。
• 该方法复现了已知的热带几何结果，包括Brugallé与Mikhalkin对r+2s ≤ 3的情形，以及Itenberg等人对纯实约束的情形。
• 开Gromov-Witten不变量与Welschinger不变量之间的符号关系明确给出为Γ_{[d,α,β],k} = ±2^{1−l} W_{...,l}，其中l = (3d − |α| − 2|β| − k − 1)/2。
• 该算法已在Maple中实现，并在多种配置下生成一致结果，包括s > 0对共轭点的情形。