[论文解读] Flow of (higher) Berry curvature and bulk-boundary correspondence in parametrized quantum systems

Xueda Wen, Marvin Qi+6 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2021

Topological Materials and Phenomena参考文献 41被引用 4

一句话总结

该论文为参数化无隙量子体系中的高阶贝里曲率建立了体-边对应关系，将塔卢斯电荷泵推广至高维。它引入了‘贝里曲率流动’的概念，并证明了拓扑不变量（如陈数和卡普斯汀-斯波丁耶金（KS）不变量）的泵浦会导致具有孤立外尔点的异常边界模式出现，从而为高阶贝里曲率提供了物理解释：即在d维体系中，其本质是低一维曲率的流动。

ABSTRACT

This paper is concerned with the physics of parametrized gapped quantum many-body systems, which can be viewed as a generalization of conventional topological phases of matter. In such systems, rather than considering a single Hamiltonian, one considers a family of Hamiltonians that depend continuously on some parameters. After discussing the notion of phases of parametrized systems, we formulate a bulk-boundary correspondence for an important bulk quantity, the Kapustin-Spodyneiko higher Berry curvature, first in one spatial dimension and then in arbitrary dimension. This clarifies the physical interpretation of the higher Berry curvature, which in one spatial dimension is a flow of (ordinary) Berry curvature. In d dimensions, the higher Berry curvature is a flow of (d-1)-dimensional higher Berry curvature. Based on this, we discuss one-dimensional systems that pump Chern number to/from spatial boundaries, resulting in anomalous boundary modes featuring isolated Weyl points. In higher dimensions, there are pumps of the analogous quantized invariants obtained by integrating the higher Berry curvature. We also discuss the consequences for parametrized systems of Kitaev's proposal that invertible phases are classified by a generalized cohomology theory, and emphasize the role of the suspension isomorphism in generating new examples of parametrized systems from known invertible phases. Finally, we present a pair of general quantum pumping constructions, based on physical pictures introduced by Kitaev, which take as input a d-dimensional parametrized system, and produce new (d+1)-dimensional parametrized systems. These constructions are useful for generating examples, and we conjecture that one of the constructions realizes the suspension isomorphism in a generalized cohomology theory of invertible phases.

研究动机与目标

• 通过高阶贝里曲率将塔卢斯电荷泵推广至高维参数化量子体系。
• 阐明卡普斯汀-斯波丁耶金（KS）高阶贝里曲率在d维空间中作为(d−1)维曲率流动的物理意义。
• 建立体-边对应关系，将高阶贝里曲率的流动与拓扑保护边界模式的出现联系起来。
• 探讨悬停同构在从已知拓扑相生成新可逆参数化体系中的作用。
• 构建通用的量子泵浦机制，从d维体系生成(d+1)维参数化体系，可能在广义上同调理论的可逆相中实现悬停同构。

提出的方法

• 将参数化无隙量子多体体系形式化为从参数空间X到无隙哈密顿量空间的连续映射。
• 引入‘贝里曲率流动’的概念，其中在d维空间中，高阶贝里曲率被解释为(d−1)维曲率的流动。
• 应用卡普斯汀-斯波丁耶金（KS）不变量来量化参数化体系中的拓扑不变量，特别是在一维及更高维体系中。
• 利用局域算符在虚时序相关函数中、且其基态期望值为零的条件下，推导出高阶贝里曲率的局部表达式（F^{(2)}_q, F^{(3)}_{pq}）。
• 构建两种通用的量子泵浦机制：一种在悬停空间SX上，另一种在X×S¹上，它们均能从d维体系生成新的(d+1)维参数化体系。
• 使用粘合构造和在S³上的逆系统，显式实现并分析了一维模型中的体-边对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 卡普斯汀-斯波丁耶金高阶贝里曲率在参数化量子体系中，如何从曲率流动的角度进行物理解释？
• RQ2 在一维参数化体系中，高阶贝里曲率的体-边对应关系是什么？它如何导致异常边界模式的出现？
• RQ3 在SX和X×S¹上构建的量子泵浦机制如何生成新的(d+1)维参数化体系？它们是否在广义上同调理论中实现了悬停同构？
• RQ4 局域性在高阶贝里曲率中起什么作用？它如何支持通用体系中的体-边对应关系？
• RQ5 广义上同调理论中可逆相的分类如何与参数化体系的构建及其拓扑不变量相关联？

主要发现

• 在d维空间中，高阶贝里曲率被物理解释为(d−1)维曲率的流动，推广了一维体系中贝里曲率流动的概念。
• 在一维体系中，通过KS不变量泵浦陈数，会在边界模式中导致孤立外尔点的出现，表明存在异常的拓扑响应。
• 在S³上的一维精确可解晶格模型中，体-边对应关系被显式验证，其中从体计算出的KS不变量与边界拓扑不变量完全匹配。
• 高阶贝里曲率被证明具有局域性，其主要贡献来自相关格点附近的区域，这一结论通过虚时序相关函数得到验证。
• 所提出的两种量子泵浦构造——在SX和X×S¹上——能从d维体系生成(d+1)维参数化体系，后者被推测在广义上同调理论中实现了悬停同构。
• 在高维体系中，(d+1)维体系中的KS不变量可由体-边对应关系计算得出，且该构造产生类似于低维体系中陈数的量化不变量。