[论文解读] Flows on rooted trees and the Narayana idempotents

Frédéric Chapoton|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文在前李运算律范畴中引入了根树上流的生成级数，证明了刻画这些级数的组合恒等式。通过将其映射到二分枝运算律范畴，恢复并扩展了在下降代数中已知的李幂等元——特别是由 Menous、Novelli 和 Thibon 最近引入的 Narayana 型幂等元——并基于自由前李代数与二分枝代数和李代数交集之间的一个猜想同构关系，实现了这一目标。

ABSTRACT

Several generating series for flows on rooted trees are introduced, as elements in the group of series associated with the Pre-Lie operad. By combinatorial arguments, one proves identities that characterise these series. One then gives a complete description of the image of these series in the group of series associated with the Dendriform operad. This allows to recover the Lie idempotents in the descent algebras recently introduced by Menous, Novelli and Thibon. Moreover, one defines new Lie idempotents and conjecture the existence of some others.

研究动机与目标

• 在前李运算律范畴的背景下，刻画根树上流的生成级数。
• 将这些级数映射到二分枝运算律范畴，研究其在二分枝代数与李代数交集中的像。
• 恢复并推广最近在对称群下降代数中引入的 Narayana 型李幂等元。
• 通过根树上的组合结构，猜想存在新的李幂等元。

提出的方法

• 将根树上流的生成级数作为前李运算律相关级数群中的元素引入。
• 使用组合论证证明刻画这些级数的恒等式。
• 分析这些级数在二分枝运算律范畴中的像，利用平面二叉树的结构。
• 应用一个猜想的同构关系（自由前李代数与二分枝代数和李代数的交集之间），将元素与下降代数中的幂等元联系起来。
• 建立一个双射条件（假设 $H_{ atural}$），即在 $ ext{P}$-结构上的 $D$-结构与包含划分、各部分上的 $ ext{P}$-结构以及辅助种类 $A$、$B$、$C$、$D$ 的元组之间建立对应，以推导复合恒等式。
• 使用幺半群乘积 $ullet$ 和多项系数，投影到余不变量上，推导出关键恒等式 $s_A owtie (s_B, s_C) = s_D$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在前李运算律框架内刻画根树上流的生成级数？
• RQ2 这些级数在二分枝运算律中的像为何？它与李幂等元有何关联？
• RQ3 能否通过一个猜想的同构关系，将下降代数中的 Narayana 型李幂等元提升到自由前李代数中？
• RQ4 这些幂等元的系数背后的组合结构是什么？能否根据树的子结构进行分解？
• RQ5 是否存在可通过此类流构造的新李幂等元族？

主要发现

• 根树上流的生成级数在前李运算律中被完全由组合恒等式刻画。
• 这些级数在二分枝运算律中的像恰好位于二分枝代数与李代数的交集中，支持了其与自由前李代数之间猜想同构的关系。
• Menous、Novelli 和 Thibon 引入的 Narayana 型李幂等元，作为自由前李代数中元素在映射到二分枝代数时的像被成功恢复。
• 前李代数中预像的系数被证明是 $b$ 的正多项式，且可按子树结构分解。
• 本文通过基于树的流结构构造了新的李幂等元候选，暗示存在更广泛的此类幂等元族。
• 通过假设 $H_{ atural}(A,B,C,D)$ 建立了一个通用的组合框架，导出了生成级数的恒等式 $s_A owtie (s_B, s_C) = s_D$。