[论文解读] m-dendriform algebras

Jean-Christophe Novelli|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 12

一句话总结

本文引入了 $m$-dendriform 代数，这是 Fuss-Catalan 组合数学中 dendriform 代数的推广，通过 $m+1$ 个运算将字上的移位 shuffle 乘积拆分。证明了自由 $m$-dendriform 代数的维数生成系列为 $\frac{1}{(1-x)^{m+1}}$，并确立了 $m$-Dias 代数的对偶性构成一个 Koszul 操作代数，且 $m$-dendriform 与 $m$-Dias 操作代数互为对偶且 Koszul。

ABSTRACT

The Fuss-Catalan numbers are a generalization of the Catalan numbers. They enumerate a large class of objects and in particular m-Dyck paths and m+1-ary trees. Recently, F. Bergeron defined an analogue for generic m of the Tamari order on classical Dyck words. The author and J.-Y. Thibon showed that the combinatorial Hopf algebras related to these m-Tamari orders are defined thanks to the same monoid, the sylvester monoid, as in the m=1 case and that all related Hopf algebras also have m analogues. We present here the m-generalization of another construction on Catalan sets: the dendriform algebras. These algebras are presented in two different ways: first by relations between the m+1 operations, relations that are very similar to the classical relations; and then by explicit operations splitting the classical dendriform operations defined on words into new operations. We then investigate their dual and show they are Koszul.

研究动机与目标

• 将 dendriform 代数推广为适用于 Fuss-Catalan 组合数学的 $m$-dendriform 代数。
• 在字上定义 $m+1$ 个运算，使其保持 Sylvester 类并能从单一生成元生成所有此类类。
• 证明所得的 $m$-dendriform 代数的维数与 $(m+1)$-叉树的生成系列相匹配。
• 构造对偶的 $m$-Dias 代数，并证明 $m$-dendriform 与 $m$-Dias 操作代数之间的 Koszul 对偶性。

提出的方法

• 通过满足类比于经典 dendriform 关系的 $m+1$ 个运算关系来定义 $m$-dendriform 代数。
• 通过在字上使用右到左极小值将移位 shuffle 乘积拆分为 $m+1$ 个部分，显式构造 $m$-dendriform 代数。
• 使用树模式上的重写系统证明所有 $m$-dendriform 代数均定义良好且为有限维。
• 通过分量生成系列的递归方程证明自由 $m$-dendriform 代数的生成系列为 $U = \frac{1}{(1-x)^{m+1}}$。
• 通过单峰关系定义对偶 $m$-Dias 代数，并证明树模式上重写系统的收敛性与无环性。
• 利用重写图的收敛性与无环性，证明 $m$-Dias 操作代数是 Koszul 的，且由二次表示与 Koszul 对偶性理论可知，$m$-dendriform 与 $m$-Dias 操作代数互为对偶。

实验结果

研究问题

• RQ1 dendriform 代数能否被推广为捕捉 $m$-Dyck 路径与 $(m+1)$-叉树组合结构的 $m$-dendriform 代数？
• RQ2 对字的 $m+1$ 个运算是否保持 Sylvester 类，并能从单一生成元生成所有此类类？
• RQ3 自由 $m$-dendriform 代数的生成系列是什么？它是否与 Fuss-Catalan 数匹配？
• RQ4 m-dendriform 代数的对偶代数是否为 Koszul 代数？$m$-dendriform 与 $m$-Dias 操作代数之间是否存在对偶性？
• RQ5 能否通过树模式上的重写系统完全刻画 $m$-dendriform 代数的结构？

主要发现

• 自由 $m$-dendriform 代数的生成系列为 $U = \frac{1}{(1-x)^{m+1}}$，与 $(m+1)$-叉树的生成函数一致。
• $m$-dendriform 代数通过在字上使用右到左极小值将移位 shuffle 乘积拆分为 $m+1$ 个运算来构造。
• 对偶 $m$-Dias 代数由单峰关系定义，其生成系列为 $h(-x) = \frac{-x}{(1+x)^{m+1}}$，即 $m$-dendriform 生成系列在复合下的逆。
• $m$-dendriform 与 $m$-Dias 操作代数均为 Koszul 且互为对偶，由树模式上重写系统的收敛性与无环性所证实。
• $m$-dendriform 代数的重写系统是收敛且无环的，确保每个代数元素均等价于唯一一个仅含有效模式的规范形式树。
• $m$-Dias 操作代数为二次且收敛，根据已知结论，这表明 $m$-dendriform 与 $m$-Dias 操作代数互为 Koszul 对偶。