[论文解读] Fluid limits of many-server queues with state dependent service rates

Anup Biswas|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2012

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文建立了具有通用服务时间分布和状态相关服务速率的多服务器排队系统流极限的存在性与唯一性，其中服务器速度根据系统负载自适应调整。通过跟踪剩余服务时间的测度值过程，作者在服务速率函数和到达过程满足适当正则性条件的前提下，推导出描述极限行为的流模型方程。

ABSTRACT

We study a many-server queuing system with general service time distribution and state dependent service rates. The dynamics of the system are modeled using measure valued processes which keep track of the residual service times. Under suitable conditions, we prove the existence of a unique fluid limit.

研究动机与目标

• 分析具有通用服务时间分布和动态服务速率（依赖于系统状态）的多服务器队列的渐近行为。
• 将流极限理论从恒定速率服务模型扩展至更真实的场景，以捕捉呼叫中心和服务系统中服务速度随拥塞程度调整的实际情况。
• 利用跟踪剩余服务时间的测度值过程，为具有状态依赖服务速率的GI/G/n队列建立严格的流极限。
• 提供一种确定性的流近似，以捕捉在动态服务速率策略下大规模排队系统的宏观行为。

提出的方法

• 使用测度值过程 $\mathcal{Z}^n_t$ 对正在服务的顾客的剩余服务时间进行建模。
• 引入流尺度过程 $\bar{X}^n_t = \frac{1}{n}X^n_t$，以在扩散标度下分析系统。
• 推导出描述缩放测度值过程 $\frac{1}{n}\mathcal{Z}^n_t$ 极限的流模型方程（方程9）。
• 使用不动点论证和Gronwall不等式，证明流模型方程解的存在性与唯一性。
• 应用Arzelà–Ascoli定理，建立流尺度过程序列的相对紧致性。
• 依赖[18]和[10]中的技术，并将其调整以处理动态服务速率，而无需对离去过程显式构造补偿项。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有通用服务时间分布和状态依赖服务速率的多服务器队列，其流极限是否存在？
• RQ2 当服务速率依赖于系统负载时，流极限能否通过一个确定性的积分方程唯一表征？
• RQ3 服务速率的动态调整如何影响流极限的收敛性与稳定性？
• RQ4 服务速率函数需满足何种条件，才能确保流极限的存在性与唯一性？
• RQ5 在存在状态依赖服务速率的情况下，能否利用跟踪剩余服务时间的测度值过程推导出可处理的流近似？

主要发现

• 缩放测度值过程 $\frac{1}{n}\mathcal{Z}^n_t$ 的流极限存在，且由流模型方程（方程9）唯一确定。
• 在服务速率及相关函数满足Lipschitz连续性和有界性条件的前提下，通过不动点论证和Gronwall不等式，证明了流模型方程的解存在且唯一。
• 流尺度过程序列是相对紧致的，从而保证了子序列的收敛性。
• 流极限由包含累积服务速率和剩余时间分布的积分方程表征，推广了先前针对恒定服务速率结果的研究。
• 该方法避免了对离去过程显式构造补偿项，这是处理具有动态服务速率系统时的关键挑战。
• 研究结果将流极限理论扩展至更现实的服务系统模型，其中服务器速度会根据拥塞程度自适应调整，例如采用动态排班或基于反馈的速率调整的呼叫中心。