[论文解读] Fokker-Planck equations of jumping particles and mean field games of impulse control.

Charles Bertucci|ArXiv.org|Mar 14, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文建立了脉冲控制系统的粒子密度的变分表征，推导出跳跃粒子的Fokker-Planck型方程，并通过拟变分不等式构建了脉冲控制的平均场博弈（MFG）模型。主要贡献在于证明了MFG系统的唯一解对应于一个凸泛函的唯一极小化子，为具有跳跃的MFG均衡分析提供了变分框架。

ABSTRACT

This paper is interested in the description of the density of particles evolving according to some optimal policy of an impulse control problem. We first fix sets on which the particles jump and explain how we can characterize such a density. We then investigate the coupled case in which the underlying impulse control problem depends on the density we are looking for : the mean field games of impulse control. In both cases, we give a variational characterization of the densities of jumping particles.

研究动机与目标

• 对受随机扩散过程中跳跃影响的脉冲控制下粒子密度进行数学表征。
• 为粒子在受控时间和位置发生跳跃的系统，建立Fokker-Planck方程框架。
• 将平均场博弈理论扩展至脉冲控制情形，其中个体玩家的代价依赖于群体密度。
• 在脉冲控制背景下，证明正向-反向MFG系统解的存在性与唯一性。
• 将均衡密度的变分公式化为一个涉及值函数和密度约束的凸泛函的唯一极小化子。

提出的方法

• 通过构造脉冲控制问题的惩罚版本，在时变情形下推导出极限密度。
• 采用变分方法，将均衡密度表征为包含值函数和密度约束的泛函的极小化子。
• 在Sobolev空间中应用弱收敛性及上下半连续性论证，证明极限密度的存在性与唯一性。
• 推导出表征MFG系统解的一组变分不等式，将值函数与密度演化相联系。
• 通过严格凸性，建立MFG系统的鞍点公式化，确保唯一性。
• 将框架扩展至稳态情形，证明在适当条件下，稳态Fokker-Planck方程存在唯一解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从数学上表征受脉冲控制支配的跳跃粒子系统中粒子密度？
• RQ2 当粒子动力学涉及受控跳跃而非连续扩散时，Fokker-Planck方程的结构是怎样的？
• RQ3 如何将具有脉冲控制的平均场博弈公式化为一组正向-反向方程的耦合系统？
• RQ4 在脉冲控制的平均场博弈中，支撑均衡密度的变分原理是什么？
• RQ5 在何种条件下，此类系统中存在唯一的均衡密度？

主要发现

• 跳跃粒子的极限密度被表征为一个包含值函数和密度约束的凸泛函的唯一极小化子。
• 证明了脉冲控制MFG系统的解是某一变分问题的唯一极小化子，从而确立了均衡的变分表征。
• 在适当假设下，证明了脉冲控制下稳态Fokker-Planck方程解的存在性与唯一性。
• 从MFG公式化导出的变分不等式系统将均衡表征为一个凸-凹泛函的鞍点。
• 惩罚问题收敛至满足跳跃粒子Fokker-Planck方程的解，收敛性通过弱紧致性与半连续性得以证明。
• 证明了MFG系统的最优控制解释对应于最小化一个包含运行成本和与密度约束相关的对偶项的泛函。