[论文解读] Foliations and the cohomology of moduli spaces of bounded global $G$-shtukas

Stephan Neupert|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用 9

一句话总结

该论文在代数与阿迪克（adic）设定下，建立了有界全局G-希塔卡模空间特殊纤维中牛顿层的分解，将其表示为拉波波特-津克空间与伊古萨簇的积。通过利用Id(bνi)-截断同构构造伊古萨簇，并借助统一化态射，作者将全局G-希塔卡的ℓ-进上同调与局部及伊古萨分量的上同调联系起来，为通过上同调比较定理实现朗兰兹对应提供了框架。

ABSTRACT

For arbitrary reductive groups $G$ defined over a finite field, we decompose Newton strata in the special fiber of moduli spaces of global $G$-shtukas into a product of Rapoport-Zink spaces and Igusa varieties. This allows us to compare the $\ell$-adic cohomology of these spaces together with the various actions on them.

研究动机与目标

• 将有界全局G-希塔卡模空间特殊纤维中的牛顿层分解为拉波波特-津克空间与伊古萨簇的积。
• 通过Id(bνi)-截断同构构造伊古萨簇，避免依赖基本情形下的积分解。
• 通过统一化态射，建立全局G-希塔卡的ℓ-进上同调与局部及伊古萨分量上同调之间的比较。
• 解决阿迪克解析设定下的上同调挑战，特别是解析化不保持层结构的问题，以及消失上同调的性质。

提出的方法

• 将伊古萨簇构造为参数化具有到普遍局部G-希塔卡（L+G, bνiσ*）的Id(bνi)-截断同构的有界全局G-希塔卡的模空间。
• 通过向中心叶的完美化进行基变换，以实现直接的弗罗贝尼乌斯拉回，避免非基本基本仿射胞腔带来的复杂性。
• 应用统一化态射，将全局G-希塔卡模空间的上同调与拉波波特-津克空间及伊古萨簇的积的上同调联系起来。
• 采用解析化与消失上同调层RΨan，比较阿迪克设定下的上同调，特别是紧支上同调的情形。
• 分析解析化不保持分层结构的问题，表明在格罗滕迪克群中，N(νi)an与N(νi)an,strat所诱导的上同调复形不彼此同构。
• 识别出拉波波特-津克空间比较定理中的障碍，特别是在形式概形非局部有限型时。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阿迪克设定下，有界全局G-希塔卡模空间特殊纤维中的牛顿层能否被分解为拉波波特-津克空间与伊古萨簇的积？
• RQ2 对于非基本局部G-希塔卡，如何在不依赖基本情形积分解的前提下，统一构造伊古萨簇？
• RQ3 在非拟紧阿迪克空间背景下，解析化与消失上同调层在多大程度上保持上同调结构？
• RQ4 为何标准比较定理在非形式概形局部有限型的拉波波特-津克空间上失效？
• RQ5 全局G-希塔卡的上同调能否以拉波波特-津克与伊古萨分量上同调的虚拟表示形式表达？

主要发现

• 有界全局G-希塔卡模空间的特殊纤维可分解为拉波波特-津克空间与伊古萨簇的积，其中伊古萨簇表示为在中心叶完美化上的有限 étale 覆盖。
• 伊古萨簇通过Id(bνi)-截断同构构造，提供了一种统一的模描述，避免了在非基本情形下依赖积分解。
• 通过统一化态射，全局G-希塔卡模空间的上同调与拉波波特-津克及伊古萨分量的上同调相关联，得到虚拟G(Aci) × ΓE′-表示的比较。
• 解析化不保持分层结构：在格罗滕迪克群中，子空间N(νi)an与更大的集合N(νi)an,strat不诱导同构的上同调复形。
• 在当前设定下，伊古萨簇上的消失上同调层RΨanη不与常数层Z/ℓrZ同构，原因在于构造中形式光滑性的失效。
• 由于形式概形非局部有限型，拉波波特-津克空间的比较定理在当前设定下失效，且特殊化态射sp−1Uclε与伯克维奇空间Uclrigε不一致，导致先前证明中的关键步骤失效。