[论文解读] Formality and hard Lefschetz property of aspherical manifolds

Hisashi Kasuya|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文证明了，若某些具有几乎幂零基本群的非球形流形的单连通化（unipotent hull）是阿贝尔的，则这些流形是形式的，并满足强莱夫谢茨性质。通过基本群的代数包络（algebraic hull），作者证明了特定可解李群 $\mathbb{R}^n \ltimes_\phi \mathbb{R}^m$ 中格的有限扩张所诱导的单连通化流形是形式的，并满足强莱夫谢茨性质，其中许多是非凯勒流形。

ABSTRACT

For a Lie group $G=\R^{n}\ltimes_ϕ\R^{m}$ with the semi-simple action $ϕ:\R^{n} o { m Aut}(\R^{m})$, we show that if $Γ$ is a finite extension of a lattice of $G$ then $K(Γ, 1)$ is formal. Moreover we show that a compact symplectic aspherical manifold with the fundamental group $Γ$ satisfies the hard Lefschetz property. By those results we give many examples of formal solvmanifolds satisfying the hard Lefschetz property but not admitting Kähler structures.

研究动机与目标

• 确定与几乎幂零群相关的 $K(\Gamma,1)$ 空间为形式的条件。
• 研究具有此类基本群的紧致辛非球形流形的强莱夫谢茨性质。
• 构造出不具有凯勒结构的形式强莱夫谢茨流形的显式例子。
• 阐明单连通化与代数包络在决定形式性与强莱夫谢茨性质中的作用。
• 提供一种基于代数包络的构造性框架，以分析单连通化流形与仿射单连通化流形的上同调性质。

提出的方法

• 利用一个无挠几乎幂零群 $\Gamma$ 的代数包络 $\mathbf{H}_\Gamma$，其具有唯一的单射同态 $\psi: \Gamma \to \mathbf{H}_\Gamma$，且像在齐次拓扑下稠密。
• 将单连通化 $\mathbf{U}_\Gamma$ 定义为 $\mathbf{H}_\Gamma$ 的单连通根，证明 $K(\Gamma,1)$ 的形式性等价于 $\mathbf{U}_\Gamma$ 为阿贝尔群。
• 应用 Baues 构造的标准 $\Gamma$-流形 $M_\Gamma$，将 $K(\Gamma,1)$ 实现为具有可计算德拉姆上同调的紧致非球形流形。
• 通过 $\{\pm1\}$-不变子复形 $\bigwedge \mathfrak{u}^*$ 与德拉姆复形 $A^\ast(M_\Gamma)$ 之间的拟同构关系，分析形式性。
• 通过使用不变 2-形式 $\omega = x_1 \wedge y + x_2 \wedge x_3$ 构造 $M_\Gamma \times S^1$ 上的辛形式，验证强莱夫谢茨性质。
• 分析 $\{\pm1\}$ 在单连通化 $\mathfrak{u}$ 的李代数上的作用，以确定不变子复形的上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，几乎幂零群 $\Gamma$ 的 $K(\Gamma,1)$ 空间是形式的？
• RQ2 当一个紧致辛非球形流形的基本群为 $\Gamma$ 时，它在什么条件下满足强莱夫谢茨性质？
• RQ3 单连通化 $\mathbf{U}_\Gamma$ 为阿贝尔群是否足以成为形式性与强莱夫谢茨性质的充分条件？
• RQ4 是否存在来自非阿贝尔、非类型 (I) 可解李群的、形式且满足强莱夫谢茨性质但非凯勒的流形的例子？
• RQ5 一个非莱夫谢茨流形的有限覆叠是否仍可满足强莱夫谢茨性质？这与基本群结构有何关联？

主要发现

• 一个无挠几乎幂零群 $\Gamma$ 的单连通化 $\mathbf{U}_\Gamma$ 为阿贝尔群，当且仅当 $\Gamma$ 是某个李群 $G = \mathbb{R}^n \ltimes_\phi \mathbb{R}^m$ 中格的有限扩张，且作用 $\phi$ 为半单。
• 若 $\mathbf{U}_\Gamma$ 为阿贝尔群，则 $K(\Gamma,1)$ 是形式的，这通过不变子复形 $\bigwedge \mathfrak{u}^{* \{\pm1\}}$ 上导子的平凡性得以证明。
• 若基本群 $\Gamma$ 满足上述条件，则其对应的紧致辛非球形流形满足强莱夫谢茨性质，这由同构 $[\omega] \wedge: H^1 \to H^3$ 所证明。
• 由 $\Gamma = \mathbb{Z} \ltimes_\phi \mathbb{Z}^2$ 构造的流形 $M_\Gamma$（其中 $\phi(t)$ 如给定）是形式的，并满足强莱夫谢茨性质，即使在一般情况下 $U_\Gamma$ 非阿贝尔。
• $M_\Gamma \times S^1$ 是一个 4 维紧致辛非球形流形，满足强莱夫谢茨性质，尽管其覆叠 $M_\Delta$（其中 $\Delta = \Gamma \times \mathbb{Z}$）不满足该性质。
• 存在形式且满足强莱夫谢茨性质但非凯勒的流形，例如当 $G = \mathbb{R}^n \ltimes_\phi \mathbb{R}^m$ 不属于类型 (I) 时的 $M_\Gamma$，提供了凯勒性失效的显式反例。