[论文解读] Formation of shocks for 2D isentropic compressible Euler

Tristan Buckmaster, Steve Shkoller+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 39被引用 22

一句话总结

该论文构建了二维等熵可压缩欧拉方程在 $\gamma > 1$ 条件下的光滑、有限能量解，其初始数据具有 $\mathcal{O}(1)$ 幅值和最小斜率为 $-1/\varepsilon$，并在 $\mathcal{O}(\varepsilon)$ 时间内形成激波。通过自相似变换和调制变量，证明了具有 $C^{1/3}$ 霍尔德正则性的尖点型激波的存在，且具有非平凡涡量，避免了对无旋流的微小扰动，聚焦于纯方位波动力学。

ABSTRACT

We consider the 2D isentropic compressible Euler equations, with pressure law $p(ρ) = (\sfrac{1}γ) ρ^γ$, with $γ>1$. We provide an elementary constructive proof of shock formation from smooth initial datum of finite energy, with no vacuum regions, and with {nontrivial vorticity}. We prove that for initial data which has minimum slope $- {\sfrac{1}{ \eps}}$, for $ \eps>0$ taken sufficiently small relative to the $\OO(1)$ amplitude, there exist smooth solutions to the Euler equations which form a shock in time $\OO(\eps)$. The blowup time and location can be explicitly computed and solutions at the blowup time are of cusp-type, with Hölder $C^ {\sfrac{1}{3}}$ regularity. Our objective is the construction of solutions with inherent $\OO(1)$ vorticity at the shock. As such, rather than perturbing from an irrotational regime, we instead construct solutions with dynamics dominated by purely azimuthal wave motion. We consider homogenous solutions to the Euler equations and use Riemann-type variables to obtain a system of forced transport equations. Using a transformation to modulated self-similar variables and pointwise estimates for the ensuing system of transport equations, we show the global stability, in self-similar time, of a smooth blowup profile.

研究动机与目标

• 构建初始幅值为 $\mathcal{O}(1)$、最小斜率为 $-1/\varepsilon$ 的光滑初值，使其在有限时间内形成激波。
• 在非平凡涡量条件下，证明二维等熵可压缩欧拉方程中激波的形成，避免对无旋流的小扰动。
• 显式计算主导于纯方位波运动的解的爆破时间 $T_* = \mathcal{O}(\varepsilon)$ 和位置。
• 利用调制自相似变量与逐点估计，建立自相似时间下光滑爆破轮廓的全局稳定性。
• 表征 $t = T_*$ 时刻的激波轮廓为具有 $C^{1/3}$ 正则性的尖点，即使在存在 $\mathcal{O}(1)$ 涡量的情况下亦成立。

提出的方法

• 利用欧拉方程的齐次解，将动力学简化为以方位波运动为主导的区域。
• 转换为调制自相似变量，以动态追踪爆破位置、时间与幅值。
• 在黎曼型变量中推导扰动方位波分量的强迫输运方程组。
• 应用逐点估计，证明自相似时间下爆破轮廓的全局稳定性。
• 在引理 A.2 中应用阻尼与强迫框架，控制解的增长，防止外区发生爆破。
• 通过自相似变换与调制函数显式计算爆破时间与位置。

实验结果

研究问题

• RQ1 在初始数据具有 $\mathcal{O}(1)$ 涡量且非无旋的条件下，能否在二维等熵可压缩欧拉方程中构造出激波形成？
• RQ2 对于初始斜率为 $-1/\varepsilon$ 且幅值为 $\mathcal{O}(1)$ 的解，其精确爆破时间与位置为何？
• RQ3 爆破时刻的激波轮廓具有何种正则性？是否可显式表征？
• RQ4 如何通过带有调制函数的自相似框架，在自相似时间下实现爆破轮廓的全局稳定？
• RQ5 在激波形成过程中，动力学是否仍由方位波主导，且径向分量保持有界？

主要发现

• 初始斜率为 $-1/\varepsilon$ 的解在时间 $T_* = \mathcal{O}(\varepsilon)$ 内形成激波，爆破时间与位置可显式计算。
• 在 $t = T_*$ 时刻，激波轮廓表现出 $C^{1/3}$ 霍尔德正则性，形成类似尖点的奇性。
• 在激波处，解保持 $\mathcal{O}(1)$ 涡量，与无旋激波构造形成鲜明对比。
• 爆破在自相似时间下是稳定的，轮廓在调制自相似变换下具有全局稳定性。
• 当 $\gamma = 3$ 时，动力学退化为对伯吉斯方程的初等研究，可完全表征激波形成过程。
• 在 $T_*$ 之前不形成其他奇性，且当 $t \to T_*$ 时，$|\nabla \rho|$ 与 $|\nabla u|$ 均发生爆破。