[论文解读] On smooth self similar solutions to the compressible Euler equations

Frank Merle, Pierre Raphaël+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 6被引用 17

一句话总结

本文在特定的巴罗特罗普律和趋近临界值的量化速度下，证明了在维度 d > 1 时，可压缩欧拉方程存在光滑的 C^∞ 自相似解。通过分析相关常微分方程的相图并利用正则性，作者构建了具有空间衰减的非典型解，从而在后续关于非线性薛定谔方程及欧拉/纳维-斯托克斯方程的有限时间爆破研究中实现了对线性化算子的控制。

ABSTRACT

We consider the barotropic Euler equations in dimension d>1 with decaying density at spatial infinity. The phase portrait of the nonlinear ode governing the equation for spherically symmetric self-similar solutions has been introduced in the pioneering work of Guderley. It allows to construct global profiles of the self-similar problem, which however turn out to be generically non-smooth across the associated light (acoustic) cone. In a suitable range of barotropic laws and for a sequence of quantized speeds accumulating to a critical value, we prove the existence of non-generic C^\infty self-similar solutions with suitable decay at infinity. The C^\infty regularity is used in a fundamental way in the companion papers \cite{MRRSnls}, \cite{MRRSfluid} to control the associated linearized operator, and construct finite energy blow up solutions of respectively the defocusing nonlinear Schrödinger equation in dimension $5\le d\le9$, and the isentropic ideal compressible Euler and Navier-Stokes equations in dimensions d=2,3.

研究动机与目标

• 在维度 d > 1 时，构造可压缩欧拉方程的光滑 C^∞ 自相似解。
• 通过识别具有改进正则性的非典型解类，克服 Guderley 型解在光锥处的普遍非光滑性。
• 为后续关于聚焦非线性薛定谔方程和可压缩流体方程的有限能量爆破研究中线性化算子的控制提供基础。
• 确定特定的巴罗特罗普律和量化速度范围，使得此类光滑解存在。

提出的方法

• 基于 Guderley 的框架，分析球对称自相似解所服从的非线性常微分方程的相图。
• 识别出一组离散速度，其趋近于临界值时可实现光滑性。
• 应用 C^∞ 正则性，确保解在声锥处光滑，与普遍解相反。
• 运用渐近分析和动力系统技术，研究解在空间无穷远处的行为。
• 在特定巴罗特罗普律下，构造满足无穷远处衰减条件的全局解形。
• 利用光滑性，使后续非线性分析中对线性化算子的控制成为可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种巴罗特罗普律和速度条件下，可压缩欧拉方程的光滑自相似解可以存在？
• RQ2 为何普遍自相似解在光锥处不光滑？如何克服这一问题？
• RQ3 能否构造出一类非典型的解，使其为 C^∞ 且在无穷远处衰减？
• RQ4 在临界值附近的速度量化如何与光滑解的出现相关？
• RQ5 C^∞ 正则性在实现相关方程中有限时间爆破解的构造中起到何种作用？

主要发现

• 在可压缩欧拉方程中，存在一列趋近于临界值的速度，使得光滑 C^∞ 自相似解存在。
• 这些解在特定巴罗特罗普律下构造而成，并在空间无穷远处表现出衰减。
• 光滑性是非典型的，仅在趋近临界值的离散速度集合下出现。
• 这些解在整个空间上全局定义且在声锥处光滑，与普遍的 Guderley 型解不同。
• C^∞ 正则性使得线性化算子得以控制，这是后续爆破构造中的关键要求。
• 本结果为在 d = 5 到 9 的聚焦非线性薛定谔方程（defocusing NLS）及 d = 2, 3 的可压缩欧拉/纳维-斯托克斯方程中构造有限能量爆破解奠定了基础。