[论文解读] Fourier-based quantum signal processing

Thais de Lima Silva, Lucas R. Borges+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于傅里叶的量子信号处理新算法，仅使用一个辅助量子比特，即可实现对厄米算符的任意有限傅里叶级数，利用固定时间的酉演化预言机 $e^{-iHt}$。该方法实现了基于投影测量的高效算符函数实现，如矩阵求逆和哈密顿量演化，显著降低了量子比特开销，且无需采用量子化步骤，相较于以往的块编码方法在可扩展性和实验可行性方面表现更优。

ABSTRACT

Implementing general functions of operators is a powerful tool in quantum computation. It can be used as the basis for a variety of quantum algorithms including matrix inversion, real and imaginary-time evolution, and matrix powers. Quantum signal processing is the state of the art for this aim, assuming that the operator to be transformed is given as a block of a unitary matrix acting on an enlarged Hilbert space. Here we present an algorithm for Hermitian-operator function design from an oracle given by the unitary evolution with respect to that operator at a fixed time. Our algorithm implements a Fourier approximation of the target function based on the iteration of a basic sequence of single-qubit gates, for which we prove the expressibility. In addition, we present an efficient classical algorithm for calculating its parameters from the Fourier series coefficients. Our algorithm uses only one qubit ancilla regardless the degree of the approximating series. This contrasts with previous proposals, which required an ancillary register of size growing with the expansion degree. Our methods are compatible with Trotterised Hamiltonian simulations schemes and hybrid digital-analog approaches.

研究动机与目标

• 开发一种可扩展的量子信号处理方法，用于实现厄米算符的任意有限傅里叶级数。
• 将辅助量子比特需求从对数规模降低至单个量子比特，提升实验可行性。
• 消除先前基于QSVT方法中成本较高的量子化步骤需求。
• 提供一种高效的经典算法，用于从傅里叶系数计算旋转角度。
• 实现在数字及混合数字-模拟量子平台上的实际应用。

提出的方法

• 该方法使用固定可调时间 $t$ 的酉演化预言机 $e^{-iHt}$ 作为量子资源，替代块编码预言机。
• 通过在单个辅助量子比特上施加一系列单量子比特旋转，并与预言机调用交错进行，将目标傅里叶级数实现为一个 SU(2) 变换的矩阵元。
• 旋转角度通过从傅里叶级数系数导出的高效经典算法计算，避免了高成本的优化过程。
• 通过调节相位偏移 $\Lambda$ 和时间 $t$，将算符 $H$ 的本征值谱映射到傅里叶级数的收敛区间。
• 形式化证明了任意归一化的有限傅里叶级数均可通过此脉冲序列实现，推广了先前对奇偶性受限级数的结果。
• 通过对辅助量子比特进行投影测量，可制备出所需的算符函数 $f[H]$ 作为整体酉矩阵的一个子块。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅使用一个辅助量子比特，独立于展开阶数，实现厄米算符的傅里叶级数？
• RQ2 能否从傅里叶系数中解析计算脉冲序列的旋转角度，从而避免变分优化？
• RQ3 如何通过调节 $t$ 和 $\Lambda$，将算符 $H$ 的本征值范围映射到傅里叶级数的收敛区间，以控制吉布斯现象？
• RQ4 寻找最优傅里叶逼近的经典子程序的计算成本和精度如何？
• RQ5 该方法是否与 Trotter 化哈密顿量模拟及混合数字-模拟量子架构兼容？

主要发现

• 所提出的算法无论傅里叶级数的阶数如何，均仅需一个辅助量子比特，显著降低了资源开销。
• 一种高效的经典算法可直接从傅里叶系数计算旋转角度，无需参数优化。
• 该方法通过单量子比特脉冲序列实现了任意归一化有限傅里叶级数的 $\varepsilon$-块编码。
• 通过调节 $t$ 和 $\Lambda$，可将 $H$ 的本征值范围映射到傅里叶级数的收敛区间，从而控制近似误差和吉布斯现象。
• 提供了两种用于傅里叶逼近的经典子程序：一种具有保证的误差界但计算成本较高；另一种具有渐近收敛性且投影测量概率更高。
• 该方法与 Trotter 化哈密顿量模拟及混合数字-模拟量子架构兼容，增强了其实际应用价值。