[论文解读] Fourier Growth of Parity Decision Trees

Chattopadhyay, Eshan, Liao, Jyun-Jie|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用 1

一句话总结

该论文为奇偶性决策树（PDTs）建立了紧致的傅里叶稀疏性界，证明了在层级 ℓ 处，绝对傅里叶系数之和至多为 d^{ℓ/2} · O(ℓ · log n)^ℓ，其中 d 为树的深度。作者采用一种新颖的随机游走分析方法，并结合清理过程来控制路径贡献，从而对小 ℓ 值得到近乎紧致的界，并扩展了对标准决策树的先前结果。该界意味着在奇偶性决策树模型中，k 重 Forrelation 问题存在指数级下界。

ABSTRACT

In a recent work, Gryaznov, Pudlák and Talebanfard (CCC '22) introduced a linear variant of read-once branching programs, with motivations from circuit and proof complexity. Such a read-once linear branching program is a branching program where each node is allowed to make 𝔽₂-linear queries, and is read-once in the sense that the queries on each path is linearly independent. As their main result, they constructed an explicit function with average-case complexity 2^{n/3-o(n)} against a slightly restricted model, which they call strongly read-once linear branching programs. The main tool in their lower bound result is a new type of extractor, called directional affine extractors, that they introduced. Our main result is an explicit function with 2^{n-o(n)} average-case complexity against the strongly read-once linear branching program model, which is almost optimal. This result is based on a new connection from this problem to sumset extractors, which is a randomness extractor model introduced by Chattopadhyay and Li (STOC '16) as a generalization of many other well-studied models including two-source extractors, affine extractors and small-space extractors. With this new connection, our lower bound naturally follows from a recent construction of sumset extractors by Chattopadhyay and Liao (STOC '22). In addition, we show that directional affine extractors imply sumset extractors in a restricted setting. We observe that such restricted sumset sources are enough to derive lower bounds, and obtain an arguably more modular proof of the lower bound by Gryaznov, Pudlák and Talebanfard. We also initiate a study of pseudorandomness against linear branching programs. Our main result here is a hitting set generator construction against regular linear branching programs with constant width. We derive this result based on a connection to Kakeya sets over finite fields.

研究动机与目标

• 为奇偶性决策树（PDTs）建立紧致的傅里叶稀疏性界，扩展先前对标准决策树的研究。
• 通过刻画每一层级 ℓ 处绝对傅里叶系数之和，分析 PDT 的傅里叶谱。
• 将这些界应用于证明在随机化奇偶性决策树模型中，k 重 Forrelation 问题的下界。
• 开发一种基于随机游走的新证明技术，避免使用树分解，从而实现比先前方法更简单、更直观的分析。
• 将傅里叶界扩展至成本最多为 d 的噪声决策树，这是最近引入的模型。

提出的方法

• 采用随机游走方法分析奇偶性决策树中，从根到叶的随机路径对层级 ℓ 傅里叶表达式的贡献。
• 通过清理过程确保随机游走的值以高概率保持有界，从而实现浓度界限。
• 利用层级 ≤ℓ−1 的中间值计算层级 ℓ 游走的步长，从而支持归纳证明结构。
• 对傅里叶系数和中集合 T 的大小进行归纳，基础情形为 t=0，归纳步骤依赖于引理 3.4 的鞅集中性。
• 利用均值为零的随机变量表示边的转移，并应用尾部界限控制游走中的偏差。
• 通过建模概率边选择并控制由此产生的系数贡献方差，将该框架扩展至噪声决策树。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于深度为 d 的奇偶性决策树，层级 ℓ 处绝对傅里叶系数之和的最大可能值是多少？
• RQ2 在随机限制或噪声下，层级 ℓ 处的傅里叶系数行为如何？能否对所有 ℓ 实现统一的有界性？
• RQ3 随机游走方法能否导出比先前基于分解的方法更紧致的傅里叶界？
• RQ4 PDT 的傅里叶稀疏性界是否意味着对 Forrelation 等整体函数类存在强下界？
• RQ5 该技术能否扩展至噪声决策树，其为标准决策树与奇偶性决策树的推广？

主要发现

• 任何深度为 d 的奇偶性决策树，其层级 ℓ 处绝对傅里叶系数之和被限制在 d^{ℓ/2} · O(ℓ · log n)^ℓ 以内，对小 ℓ 值近乎紧致。
• 该界意味着 k 重 Forrelation 问题在随机化奇偶性决策树模型中的复杂度为 e^{Ω(n^{1−1/k})}，尽管其量子查询复杂度仅为 ⌈k/2⌉。
• 该证明方法比先前基于分解的方法更简单、更直观，尤其适用于标准决策树。
• 该界同样适用于成本最多为 d 的噪声决策树，表明对概率查询具有鲁棒性。
• 该结果通过提供更紧致的傅里叶稀疏性控制，增强了对 L1(t) 中函数的伪随机生成器构造。
• 分析表明，在噪声下，层级 ℓ 的傅里叶系数被乘法因子 γ^ℓ 缩小，这促使采用依赖于 ℓ 的界。