[论文解读] Fourier Integral Operators of Boutet de Monvel Type

Ubertino Battisti, Sandro Coriasco+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文引入了一类在紧致带边流形上定义的傅里叶积分算子（Boutet de Monvel型），其关联的边值保持的辛同胚在纤维上齐次次数为一，并满足传输条件。本文建立了完整的演算体系，证明了类 Egorov 定理，定义了椭圆性并由此推出弗雷德霍姆性质，且从辛同胚与 Maslov 线丛的截面构造出一个弗雷德霍姆算子，证明当 dim Y > 2 或 Maslov 线丛平凡时，该算子的指标是辛同胚的不变量。

ABSTRACT

Given two compact manifolds $X,Y,$ with boundary and a boundary preserving symplectomorphism $χ:T^*Y\setminus0 o T^*X\setminus0$, which is one-homogeneous in the fibers and satisfies the transmission condition, we introduce Fourier integral operators of Boutet de Monvel type associated with $χ$. We study their mapping properties between Sobolev spaces, develop a calculus and prove a Egorov type theorem. We also introduce a notion of ellipticity which implies the Fredholm property. Finally, we show how -- in the spirit of a classical construction by A. Weinstein -- a Fredholm operator of this type can be associated with $χ$ and a section of the Maslov bundle. If $\dim Y>2$ or the Maslov bundle is trivial, the index is independent of the section and thus an invariant of the symplectomorphism.

研究动机与目标

• 开发适用于紧致带边流形的傅里叶积分算子演算体系，推广 Boutet de Monvel 的伪微分算子演算。
• 建立这些算子在 Sobolev 空间之间的映射性质。
• 定义一种椭圆性概念，使其蕴含弗雷德霍姆性质。
• 从保持边界的辛同胚与 Maslov 线丛的截面构造一个弗雷德霍姆算子。
• 证明该算子的指标在 dim Y > 2 或 Maslov 线丛平凡时，是辛同胚的不变量。

提出的方法

• 算子定义为截断型 FIO，形式为 $ r^+ A^\rho e^+ $，其中 $ A^\rho $ 是与辛同胚 $ \rho $ 关联的 FIO，$ r^+ $ 和 $ e^+ $ 分别为限制算子与零延拓算子。
• 构造依赖于取值于 $ S^m(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{R}^{n-1}; \mathscr{S}(\mathbb{R}_+), \mathscr{S}(\mathbb{R}_+)) $ 的算子值符号，利用表示 $ \rho $ 及其边界提升的相位函数。
• 对 $ \rho $ 的每一组成部分施加传输条件，以确保从 $ C^\infty(Y) $ 到 $ C^\infty(X) $，以及从 $ C^\infty(X) $ 到 $ C^\infty(Y) $ 的连续性。
• 通过算子值伪微分算子发展演算体系，其复合规则由符号的渐近展开给出。
• 证明了类 Egorov 定理，表明 FIO 对算子的共轭作用与辛同胚对符号类的作用一致。
• 通过椭圆性概念建立弗雷德霍姆性质，且通过截面将指标与 Maslov 线丛关联，在指定条件下实现拓扑不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为在纤维上齐次次数为一且满足传输条件的带边流形之间辛同胚，发展出 Boutet de Monvel 型傅里叶积分算子的完整演算体系？
• RQ2 所提出的算子类是否具备完整的演算体系，包括类 Egorov 定理？其在 Sobolev 空间上的映射性质如何？
• RQ3 能否为这些算子定义一种椭圆性概念，使其蕴含弗雷德霍姆性质？
• RQ4 如何自然地将一个弗雷德霍姆算子与给定的辛同胚及 Maslov 线丛的截面关联起来？
• RQ5 当 dim Y > 2 或 Maslov 线丛平凡时，该弗雷德霍姆算子的指标是否与截面的选择无关？

主要发现

• 若辛同胚 $ \rho $ 满足传输条件，则截断型 FIO $ r^+ A^\rho e^+ $ 是从 $ C^\frown(Y) $ 到 $ C^\frown(X) $ 的连续算子。
• 算子 $ r^+ A^\rho e^+ $ 被证明属于 $ S^m(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{R}^{n-1}; \mathscr{S}(\mathbb{R}_+), \mathscr{S}(\mathbb{R}_+)) $ 的算子值符号类，从而可应用伪微分演算。
• 建立了完整的演算体系，包括复合与伴随公式，其符号渐近展开为 $ a(y,\eta) \sim \sum_\alpha \frac{1}{\alpha!} \partial_\eta^\alpha a_1(y,\eta) D^\alpha_y a_2(y,\eta) $。
• 证明了类 Egorov 定理，表明 FIO 共轭作用保持主符号类，仅受辛同胚作用的影响。
• 椭圆性定义为对主符号的可逆性，且该性质蕴含关联算子的弗雷德霍姆性质。
• 当 dim Y > 2 或 Maslov 线丛平凡时，所构造弗雷德霍姆算子的指标与 Maslov 线丛截面的选择无关，因此构成辛同胚 $ \rho $ 的不变量。