[论文解读] Fourier-Mukai transform of vector bundles on surfaces to Hilbert scheme

Indranil Biswas, D. S. Nagaraj|arXiv (Cornell University)|May 20, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 5

一句话总结

该论文证明了从光滑射影曲面 S 上的向量丛到其长度为 d 的子chemes 的 Hilbert 空间上的向量丛的 Fourier-Mukai 变换的单射性。通过限制到线性系统中的一般曲线并分析 Harder-Narasimhan 分次过滤，作者证明了 Hilbert 空间上变换丛的同构蕴含原始丛在 S 上的同构，将此前在 K3 和阿贝尔曲面上的结果推广到了代数闭域上的任意光滑曲面。

ABSTRACT

Let $S$ be an irreducible smooth projective surface defined over an algebraically closed field $k$. For a positive integer $d$, let ${ m Hilb}^d(S)$ be the Hilbert scheme parametrizing the zero-dimensional subschemes of $S$ of length $d$. For a vector bundle $E$ on $S$, let ${\mathcal H}(E)\, \longrightarrow\, { m Hilb}^d(S)$ be its Fourier--Mukai transform constructed using the structure sheaf of the universal subscheme of $S imes { m Hilb}^d(S)$ as the kernel. We prove that two vector bundles $E$ and $F$ on $S$ are isomorphic if the vector bundles ${\mathcal H}(E)$ and ${\mathcal H}(F)$ are isomorphic.

研究动机与目标

• 确定从光滑射影曲面 S 上的向量丛到其 Hilbert 空间 Hilb^d(S) 上的向量丛的 Fourier-Mukai 变换是否为单射。
• 将此前在 K3 和阿贝尔曲面上的结果推广到代数闭域上的任意光滑射影曲面。
• 建立 Hilbert 空间上变换丛的同构蕴含 S 上原始丛同构的结论。
• 通过限制到线性系统中的一般曲线，将问题约化为曲面上向量丛的情形。

提出的方法

• 使用作为核的普遍子簇 Z ⊂ S × Hilb^d(S)，构造 Hilb^d(S) 上的 Fourier-Mukai 变换 H(E)。
• 通过投影 γ: S × Hilb^d(S) → Hilb^d(S) 和 β: S × Hilb^d(S) → S 定义 H(E) = γ_* (O_Z ⊗ β^*E)。
• 将变换限制到 S 上一个充分 ample 线丛 L 的 |L^n| 中的一般光滑曲线 C 上，将问题约化为对称积 Sym^d(C) 上的情形。
• 通过对角嵌入 φ: C → Sym^d(C) 提取拉回 φ^*H(E)，其具有涉及 K_C 的幂次扭的过滤。
• 通过比较 φ^*H(E) 和 φ^*H(F) 的 Harder-Narasimhan 分次过滤，推导出一般 C 上受限丛 ι^*E 和 ι^*F 的同构性。
• 利用上同调消去性与限制映射的满射性，将同构从 C 提升至 S，通过行列线丛论证证明 E ≅ F。

实验结果

研究问题

• RQ1 从光滑射影曲面 S 上的向量丛到 Hilb^d(S) 上的向量丛的 Fourier-Mukai 变换是否为单射？
• RQ2 Hilbert 空间上变换丛 H(E) 和 H(F) 的同构是否蕴含 S 上原始丛 E 和 F 的同构？
• RQ3 该单射性结果能否超越 K3 和阿贝尔曲面，推广到代数闭域上的任意光滑射影曲面？
• RQ4 拉回 φ^*H(E) 的 Harder-Narasimhan 分次过滤在多大程度上编码了 S 上原始丛 E 的信息？
• RQ5 一般曲线 |L^n| 的亏格如何影响受限丛 ι^*E 的稳定性性质？

主要发现

• Fourier-Mukai 变换 H: Vect(S) → Vect(Hilb^d(S)) 是单射的：E ≅ F 当且仅当 H(E) ≅ H(F)。
• 对于 |L^n| 中的一般光滑曲线 C（n ≥ ℓ），若 H(E) ≅ H(F)，则 ι^*E 和 ι^*F 同构。
• |L^n| 中一般曲线的亏格随 n 的平方增长，确保对大 n 有 μ_max − μ_min < 2(genus − 1) 成立。
• 限制映射 H^0(S, F ⊗ E^*) → H^0(C, (F ⊗ E^*)|_C) 对大 n 是满射，从而可将同构从 C 提升至 S。
• 提升的同态 ̃I 的行列式是同构，意味着 ̃I 是同构，因此 E ≅ F。
• 关键步骤在于 D(̃I) = 0（无基点），因为 C 是充分 ample 且 D(̃I) ∩ C = ∅，从而强制 ̃I 为同构。