[论文解读] Fourier-Mukai transforms of slope stable torsion-free sheaves and stable 1-dimensional sheaves on Weierstrass elliptic threefolds

Jason Lo|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文在 Fano 或数值 K-平凡基的 Weierstrass 椭圆三复形上引入极限倾斜稳定性，表明满足余维数 2 vanish 条件的斜率稳定无扭层的 Fourier-Mukai 变换给出极限稳定对象，反之亦然（在修改意义下）。此外，还证明了一维稳定层若其扭曲的第三 Chern 类为正，则对应于极限稳定复形，当基为数值 K-平凡时，这些复形在导出范畴的三角子范畴上是 Bridgeland 稳定的。

ABSTRACT

We focus on a class of Weierstrass elliptic threefolds that allows the base of the fibration to be a Fano surface or a numerically $K$-trivial surface. In the first half of this article, we define the notion of limit tilt stability, which is closely related to Bayer's polynomial stability. We show that the Fourier-Mukai transform of a slope stable torsion-free sheaf satisfying a vanishing condition in codimension 2 (e.g. a reflexive sheaf) is a limit stable object. We also show that the inverse Fourier-Mukai transform of a limit tilt semistable object of nonzero fiber degree is a slope semistable torsion-free sheaf, up to modification in codimension 2. In the second half of this article, we define a limit stability for complexes that vanish on the generic fiber of the fibration. We show that one-dimensional stable sheaves with positive twisted third Chern character correspond to such limit stable complexes under a Fourier-Mukai transform. When the elliptic fibration has a numerically $K$-trivial base, we show that these limit stable complexes are the stable objects with respect to a Bridgeland stability on a triangulated subcategory of the derived category of coherent sheaves on the threefold.

研究动机与目标

• 在 Fano 或数值 K-平凡基的 Weierstrass 椭圆三复形上定义并研究极限倾斜稳定性。
• 建立满足余维数 2 vanish 条件的斜率稳定无扭层与 Fourier-Mukai 变换下极限稳定对象之间的对应关系。
• 将具有正扭曲第三 Chern 类的一维稳定层表征为 Fourier-Mukai 变换下极限稳定复形的像。
• 证明当基为数值 K-平凡时，这些极限稳定复形是导出范畴三角子范畴上 Bridgeland 稳定对象。

提出的方法

• 将极限倾斜稳定性引入为与 Bayer 的多项式稳定性密切相关的一种变体，专为 Weierstrass 椭圆三复形的几何结构量身定制。
• 利用 Fourier-Mukai 变换将三复形上的无扭层与导出范畴中的复形联系起来。
• 应用余维数 2 的消失条件（例如，对自反层）以确保变换下稳定性得以保持。
• 为在纤维族通用纤维上消失的复形定义一种新的极限稳定性条件。
• 建立具有正扭曲第三 Chern 类的一维稳定层与极限稳定复形之间的对应关系。
• 证明当基为数值 K-平凡时，这些极限稳定复形在导出范畴的三角子范畴上满足 Bridgeland 稳定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 Fano 或数值 K-平凡基的 Weierstrass 椭圆三复形上定义并表征极限倾斜稳定性？
• RQ2 Fourier-Mukai 变换在满足余维数 2 消失条件的斜率稳定无扭层上的行为如何？
• RQ3 在何种条件下，极限倾斜半稳定对象的逆 Fourier-Mukai 变换（在非零纤维度下）给出斜率半稳定无扭层（至多在余维数 2 下修改）？
• RQ4 具有正扭曲第三 Chern 类的一维稳定层在 Fourier-Mukai 变换下与极限稳定复形有何关系？
• RQ5 当基为数值 K-平凡时，这些极限稳定复形是否为导出范畴三角子范畴上的 Bridgeland 稳定对象？

主要发现

• 满足余维数 2 消失条件（例如自反层）的斜率稳定无扭层的 Fourier-Mukai 变换是极限稳定对象。
• 非零纤维度的极限倾斜半稳定对象的逆 Fourier-Mukai 变换是斜率半稳定无扭层，至多在余维数 2 下修改。
• 具有正扭曲第三 Chern 类的一维稳定层通过 Fourier-Mukai 变换映射为在通用纤维上消失的极限稳定复形。
• 当基曲面为数值 K-平凡时，这些极限稳定复形在导出范畴的三角子范畴上满足 Bridgeland 稳定性条件。
• 该构造通过椭圆三复形上的 Fourier-Mukai 变换，在经典层论稳定性与 Bridgeland 稳定性之间建立了桥梁。