[论文解读] FPT Inapproximability of Directed Cut and Connectivity Problems

Rajesh Chitnis, Andreas Emil Feldmann|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 34被引用 3

一句话总结

该论文通过在更强的假设（如 Gap-ETH）下构建引入间隙的约化，为关键的有向割与连通性问题——DIRECTED MULTICUT、DSNPLANAR 和 SCSSPLANAR——建立了紧致的 FPT 不可逼近界限。证明了在标准参数化下，即使当 k 的值很小（例如 k = 4）时，这些问题也不存在 FPT 近似解法。同时，该文提出了 DIRECTED MULTICUT 的一个 2-近似算法，并证明在 FPT 时间内 (59/58 − ε)-近似是不可能的，从而填补了现有算法与不可逼近性结果之间的差距。

ABSTRACT

(see paper for full abstract) Cut problems and connectivity problems on digraphs are two well-studied classes of problems from the viewpoint of parameterized complexity. After a series of papers over the last decade, we now have (almost) tight bounds for the running time of several standard variants of these problems parameterized by two parameters: the number $k$ of terminals and the size $p$ of the solution. When there is evidence of FPT intractability, then the next natural alternative is to consider FPT approximations. In this paper, we show two types of results for several directed cut and connectivity problems, building on existing results from the literature: first is to circumvent the hardness results for these problems by designing FPT approximation algorithms, or alternatively strengthen the existing hardness results by creating "gap-instances" under stronger hypotheses such as the (Gap-)Exponential Time Hypothesis (ETH).

研究动机与目标

• 在强参数化复杂性假设下，解决基本有向割与连通性问题的 FPT 近似可解性。
• 填补 DIRECTED MULTICUT、DSNPLANAR 和 SCSSPLANAR 问题现有 FPT 近似算法与不可逼近性结果之间的差距。
• 证明在 Gap-ETH 假设下，即使当 k 很小（例如 k = 4）时，这些问题也不存在 FPT 近似解法。
• 引入中间问题变体（DSNPLANAR 和 SCSSPLANAR），其解的代价不超过最优平面解的代价。
• 通过构造引入间隙的实例，强化下界结果，证明在 FPT 时间内无法实现 (2−ε)-近似（对 DSNPLANAR）和在亚指数 FPT 时间内无法实现 (1+ε)-近似（对 SCSSPLANAR）

提出的方法

• 通过基于 gadget 的图构造并精确分配边权，从 (ℓ,n)-GRID TILING 构建参数化约化至 SCSSPLANAR。
• 设计主 gadget、垂直次级 gadget 和水平次级 gadget，以编码变量选择并利用红色和橙色边在网格中强制一致性。
• 通过成本最小解分析证明，任何最优解必须精确匹配有效网格填充的成本，从而将解的结构与问题实例的有效性联系起来。
• 应用 Gap-ETH 假设，证明在 f(p)·nO(1) 时间内，DIRECTED MULTICUT 无法实现 (59/58 − ε)-近似，即使当 k = 4。
• 利用 ETH 证明，对于任何可计算函数 f，在 f(k,p,ε)·no(√(k+p+1/ε)) 时间内无法实现 SCSSPLANAR 的 (1+ε)-近似。
• 提出一个运行时间为 2O(p²)·nO(1) 的 2-近似算法，其近似比与目前已知的最佳结果一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 当参数化为解的大小 p 和终端对数量 k 时，FPT 近似算法能否绕过 DIRECTED MULTICUT 的 W[1]-难解性？
• RQ2 在 Gap-ETH 假设下，DSNPLANAR 是否存在 (2−ε)-近似解法？尽管该问题在参数化为 k+p 时是 W[1]-难解的。
• RQ3 SCSSPLANAR 是否能在 FPT 时间内实现 (1+ε)-近似？尽管其在参数化为 k+p 时是 W[1]-难解的。
• RQ4 在 FPT 时间内可实现的 DIRECTED MULTICUT 的最紧致近似比是多少？是否可优于 2？
• RQ5 在 Gap-ETH 或 ETH 下的引入间隙约化是否能为 DSNPLANAR 和 SCSSPLANAR 带来强于以往已知的不可逼近性结果？

主要发现

• DIRECTED MULTICUT 在 2O(p²)·nO(1) 时间内可实现 k/2-近似，当 k = 4 时即为 2-近似。
• 在 Gap-ETH 假设下，对于任何可计算函数 f，DIRECTED MULTICUT 在 f(p)·nO(1) 时间内无法实现 (59/58 − ε)-近似，即使当 k = 4。
• DSNPLANAR 在参数化为 k 的 FPT 时间内无法实现 (2−ε)-近似，该结果在 Gap-ETH 假设下否定性回答了 Chitnis 等人（ESA 2018）提出的问题。
• DSNPLANAR 在参数化为 k + p 时是 W[1]-难解的，且在 ETH 假设下，对于任何可计算函数 f，在 f(k,p,ε)·no(k+√p+1/ε) 时间内无法实现 (1+ε)-近似。
• SCSSPLANAR 在参数化为 k + p 时是 W[1]-难解的，且在 ETH 假设下，对于任何可计算函数 f，在 f(k,p,ε)·no(√(k+p+1/ε)) 时间内无法实现 (1+ε)-近似。
• 本文为 SCSSPLANAR 和 DSNPLANAR 建立了紧致的 FPT 不可逼近性界限，表明即使常数因子近似在标准假设下也无法在 FPT 时间内实现。