[论文解读] Fractional Differential Equations Involving Caputo Fractional Derivative with Mittag-Leffler Non-Singular Kernel: Comparison Principles and Applications

Mohammed Al-Refai|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文建立了涉及具有Mittag-Leffler非奇异核的Caputo分数阶导数的分数阶微分方程的比较原理与存在性条件。通过推导函数极值点处分数阶导数的新估计，作者证明了线性和非线性方程的唯一性、范数界以及上下解，从而借助比较技术与Mittag-Leffler函数的积分表示，实现了对解的严格分析。

ABSTRACT

In this paper we study linear and nonlinear fractional differential equations involving the Caputo fractional derivative with Mittag-Leffler non-singular kernel of order $0

研究动机与目标

• 为具有Caputo导数和Mittag-Leffler非奇异核的线性分数阶微分方程发展比较原理。
• 推导线性分数阶初值问题解存在的必要与充分条件。
• 为非线性分数阶微分方程的解建立唯一性与范数界。
• 通过与线性方程比较，提供解的下界与上界。
• 通过涉及指数型与非线性源项的示例，展示理论结果的适用性。

提出的方法

• 利用分部积分法与Mittag-Leffler函数的性质，推导函数在最大值与最小值点处Caputo分数阶导数的新估计。
• 将所得估计应用于线性分数阶方程，证明比较原理，确保若一解在初始点占优，则在整个区间内保持占优。
• 利用比较原理，通过核的符号与Mittag-Leffler函数的单调性，推导线性分数阶方程解的范数界。
• 通过涉及Mittag-Leffler函数的广义积分算子与幂函数的卷积，构造线性分数阶方程的闭式解。
• 应用中值定理与比较技术于非线性方程，证明在Lipschitz型条件下解的唯一性。
• 通过构造右侧为线性函数的控制函数，利用导数算子的符号与解的单调性，推导非线性方程解的上下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 函数在最大值或最小值点处，具有Mittag-Leffler核的Caputo分数阶导数表现出何种行为？
• RQ2 在何种条件下，此类导数的线性分数阶微分方程存在解？
• RQ3 如何为这类分数阶方程建立比较原理，以推断解的排序与界？
• RQ4 在何种条件下，可确保此类非线性分数阶微分方程解的唯一性？
• RQ5 如何为非线性分数阶初值问题的解推导上下界？

主要发现

• 新估计表明，若函数在初始点的取值小于或等于最大值，则具有Mittag-Leffler核的Caputo分数阶导数在最大值点处为非负。
• 推导出线性分数阶方程解存在的必要条件，要求初始条件满足涉及Mittag-Leffler函数与归一化函数B(α)的特定关系。
• 建立了比较原理：若一解的初始值在另一解之上，则在满足线性有界条件的右端项下，该优势在整个时间区间内持续存在。
• 在非线性项满足Lipschitz条件时，通过比较原理与导数算子的符号分析，证明了非线性分数阶方程解的唯一性。
• 通过与常系数线性方程的解比较，推导出非线性方程解的上下界，得到以Mittag-Leffler函数与卷积积分表示的显式界。
• 在线性情况下，解的范数被强迫项的范数所控制，该界依赖于参数α与B(α)，如示例4.2所示，其中||u|| ≤ 1。