[论文解读] Fractional Dynamical Systems on Fractional Leibniz Algebroids

Gheorghe Ivan, Mihai Ivan+1 more|ArXiv.org|Sep 15, 2007

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文通过使用黎曼-刘维尔导数将切丛推广到分数阶，引入了分数阶Leibniz代数丛上的分数阶动力系统，定义了分数阶Leibniz代数丛结构，并利用分数阶锚点和结构函数推导出分数阶哈密顿系统。主要贡献是提出了一类新的$(\alpha,\beta)$-分数阶动力系统，通过一个包含Mittag-Leffler函数和Gamma函数的显式矩阵方程的分数阶麦克斯韦-布洛赫系统加以说明。

ABSTRACT

The theory of derivative of noninteger order goes back to Leibniz, Liouville and Riemann. Derivatives of fractional order have found many applications in recent studies in mechanics, physics, economics. In this paper we define the fractional tangent bundle on a manifold, using a method of Radu Miron. The fractional Leibniz algebroids are investigated. The associated objects have an geometric character. Some fractional dynamical systems on a fractional Leibniz algebroid are disscussed.

研究动机与目标

• 通过使用黎曼-刘维尔分数阶导数，将经典切丛构造推广到分数阶。
• 通过将李代数的概念推广到分数阶微积分，定义在可微流形上的分数阶Leibniz代数丛结构。
• 利用分数阶锚点和哈密顿函数，在这些代数丛上建立分数阶动力系统。
• 推导出动力系统的显式分数阶微分方程，包括预李代数丛和对称代数丛等特殊情况。
• 提出一个具体的分数阶麦克斯韦-布洛赫系统的例子，其矩阵形式方程涉及Gamma函数和Mittag-Leffler函数。

提出的方法

• 通过黎曼-刘维尔导数定义分数阶接触（order $\alpha$）的分数阶切丛 $T^\alpha(M)$，局部坐标为 $(x^i, y^{i(\alpha)}) = (x^i(0), \frac{1}{\Gamma(1+\alpha)} D_t^\alpha x^i(t)|_{t=0})$。
• 引入分数阶外微分 $d^\alpha f = d(x^i)^\alpha D_{x^i}^\alpha f$，其变换规则涉及分数阶雅可比矩阵 $\overset{\alpha}{J}_j^i$。
• 通过分数阶锚点映射 $\overset{\alpha}{\rho}_1, \overset{\alpha}{\rho}_2$、双线性括号 $[\cdot, \cdot]_\alpha$ 和结构函数 $C_{ab}^d$ 定义分数阶Leibniz代数丛。
• 利用哈密顿函数 $h$ 和分数阶导数 $D_t^\alpha, D_t^\beta$ 构造分数阶动力系统，其方程为 $D_t^\beta \xi_a = C_{ab}^d \xi_d D_{\xi_a}^\beta h + \overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{x^i}^\alpha h$ 和 $D_t^\alpha x^i = \pm \overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{\xi_a}^\beta h$。
• 针对一个具体例子，推导出矩阵形式的系统：涉及 $3 \times 3$ 反对称张量 $P^\beta$、分数阶锚点和哈密顿函数 $h = (x^2)^\alpha (\xi_2)^\beta + (x^3)^\alpha (\xi_3)^\beta$，并利用Gamma函数恒等式。
• 使用性质 $D_{\xi_a}^\beta (\xi_b)^\gamma = \delta_b^a \xi_a^{\gamma - \beta} \frac{\Gamma(1+\gamma)}{\Gamma(1+\gamma - \beta)}$ 和 $D_{x^i}^\alpha (x^j)^\gamma = \delta_i^j (x^i)^{\gamma - \alpha} \frac{\Gamma(1+\gamma)}{\Gamma(1+\gamma - \alpha)}$ 计算示例中的导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过黎曼-刘维尔导数将经典切丛构造推广到分数阶？
• RQ2 分数阶Leibniz代数丛的结构是什么？它如何将经典Leibniz代数丛推广到分数阶微积分？
• RQ3 这些代数丛上的分数阶动力系统如何表现？哈密顿演化由什么方程控制？
• RQ4 当 $\alpha \to 1$ 或 $\beta \to 1$ 时，极限情况是什么？它们与经典动力系统有何关联？
• RQ5 能否将分数阶麦克斯韦-布洛赫系统作为该框架的特例推导出来？其显式矩阵形式是什么？

主要发现

• 分数阶Leibniz代数丛上的分数阶动力系统由一对耦合的分数阶微分方程控制，涉及 $D_t^\alpha$ 和 $D_t^\beta$，哈密顿函数为 $h$，结构函数为 $C_{ab}^d$。
• 在预李情形（$C_{ab}^d = -C_{ba}^d$）下，系统形式为 $D_t^\beta \xi_a = C_{ab}^d \xi_d D_{\xi_a}^\beta h + \overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{x^i}^\alpha h$ 和 $D_t^\alpha x^i = -\overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{\xi_a}^\beta h$。
• 在对称情形（$C_{ab}^d = C_{ba}^d$）下，系统为 $D_t^\beta \xi_a = C_{ab}^d \xi_d D_{\xi_a}^\beta h + \overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{x^i}^\alpha h$ 和 $D_t^\alpha x^i = \overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{\xi_a}^\beta h$。
• 在示例中，分数阶麦克斯韦-布洛赫系统被推导出来，其显式矩阵方程为：$D_t^\beta \xi_1 = \Gamma(1+\beta)(-\xi_3 (x^2)^\alpha x^3 + \xi_2 x^2 (x^3)^\alpha) + \Gamma(1+\alpha)(-x^3 (\xi_2)^\beta + x^2 (\xi_3)^\beta)$，其他分量也有类似表达式。
• 当 $\alpha, \beta \to 1$ 时，系统退化为经典动力学，恢复标准哈密顿流。
• 在导数恒等式中使用Gamma函数和Mittag-Leffler函数，确认了系统的分数阶特性，并实现了动力方程的显式计算。