[论文解读] Fractional Negative Binomial and Polya Processes

P. Vellaisamy, Aditya Maheshwari|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文通过将分数阶泊松过程对时间进行随机时变（subordination）以构建分数阶负二项过程（FNBP），并通过对空间分数阶泊松过程进行伽马过程时变以构建空间分数阶负二项过程（SFPP）。主要贡献包括：证明FNBP表现出长程依赖性，且其一维分布不具备无限可分性；SFPP满足时间与形状参数的分数阶偏微分方程（PDE），为长记忆性与重尾计数过程提供了新模型。

ABSTRACT

In this paper, we define a fractional negative binomial process (FNBP) by replacing the Poisson process by a fractional Poisson process (FPP) in the gamma subordinated form of the negative binomial process. First, it is shown that the one-dimensional distributions of the FPP are not infinitely divisible. The long-range dependence of the FNBP, the short-range dependence of its increments and the infinite divisibility of the FPP and the FNBP are investigated. Also, the space fractional Polya process (SFPP) is defined by replacing the rate parameter $λ$ by a gamma random variable in the definition of the space fractional Poisson process. The properties of the FNBP and the SFPP and the connections to $pde$'$s$ governing the density of the FNBP and the SFPP are also investigated.

研究动机与目标

• 通过在伽马时变框架中以分数阶泊松过程替代标准泊松过程，定义一类新的分数阶负二项过程（FNBP）。
• 研究FNBP及其增量的无限可分性与长程依赖性性质。
• 通过将空间分数阶泊松过程对伽马时变子进行子序化，引入空间分数阶负二项过程（SFPP）。
• 推导并分析控制FNBP与SFPP时间参数与形状参数动态的分数阶PDE方程。
• 建立随机过程与其控制分数阶PDE之间的联系，将经典结果推广至分数阶设定。

提出的方法

• 将FNBP定义为 $ Q_{\beta}(t,\lambda) = N_{\beta}(\Gamma(t), \lambda) $，其中 $ N_{\beta} $ 为分数阶泊松过程，$ \Gamma(t) $ 为伽马时变子。
• 利用稳定逆子序化过程 $ E_{\beta}(t) $ 描述分数阶泊松过程（FPP）的首次通过时间结构，从而实现时间时变表示。
• 通过包含Mittag-Leffler函数与M-Wright函数的积分变换，推导FNBP的一维分布。
• 证明FNBP的边际分布不具备无限可分性，尽管其基础分数阶泊松过程本身也非无限可分。
• 将SFPP定义为 $ \widetilde{W}^{\Gamma}_{\beta}(t) = \widetilde{N}_{\beta}(t, \Gamma) $，其中 $ \widetilde{N}_{\beta}(t, \lambda) = N(D_{\beta}(t), \lambda) $，$ D_{\beta}(t) $ 为 $ \beta $-稳定子序化过程。
• 利用伽马函数与Mittag-Leffler函数的性质，推导SFPP概率质量函数在时间 $ t $ 与形状参数 $ p $ 上的分数阶PDE方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 分数阶负二项过程（FNBP）的一维分布是否具备无限可分性？
• RQ2 FNBP是否表现出长程依赖性？其增量是否呈现短程依赖性？
• RQ3 能否构建一个空间分数阶化的Polya过程？其随机性质为何？
• RQ4 控制SFPP时间与形状参数动态的分数阶PDE方程是什么？
• RQ5 分数阶泊松过程及其子序化形式与经典随机过程及其控制PDE之间存在何种关系？

主要发现

• 尽管基础分数阶泊松过程本身不具备无限可分性，FNBP的一维分布也并非无限可分。
• FNBP表现出长程依赖性，其自协方差函数呈现幂律衰减，证据确凿。
• FNBP的增量表现出短程依赖性，表明其记忆衰减具有马氏过程特征。
• 空间分数阶Polya过程（SFPP）是随机连续的，具有平稳增量，但不具备独立增量，因此不是Lévy过程。
• SFPP的概率质量函数满足关于时间 $ t $ 的 $ k $ 阶分数阶PDE，其形式为 $ \frac{\partial^k}{\partial t^k} \widetilde{\eta}_{\beta}(n|t,\alpha,p) = \left( -(1-u)^\beta \frac{\Gamma(p+\beta)}{\alpha^\beta \Gamma(p)} \right)^k \widetilde{\eta}_{\beta}(n|t,\alpha,p+k\beta) $。
• SFPP在形状参数 $ p $ 上也满足分数阶PDE，涉及digamma函数与分数阶导数，其推导基于伽马密度的 $ \nu $ 阶导数。