[论文解读] Fractional-Order Structural Stability: Formulation and Application to the Critical Load of Slender Structures

Sai Sidhardh, Sansit Patnaik+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2020

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 47被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于分数阶连续介质理论的框架，用于分析非局部固体的结构稳定性，采用空间分数阶导数来模拟长程相互作用。该框架推导出一种热力学一致的能量稳定性准则，并表明非局部效应同时降低了材料刚度和几何刚度，从而比仅影响单一刚度项的经典非局部模型更准确地预测临界屈曲载荷。

ABSTRACT

This study presents the framework to perform a stability analysis of nonlocal solids whose response is formulated according to the fractional-order continuum theory. In this formulation, space fractional-order operators are used to capture the nonlocal response of the medium by introducing nonlocal kinematic relations. First, we use the geometrically nonlinear fractional-order kinematic relations within an energy-based approach to establish the Lagrange-Dirichlet stability criteria for fractional-order nonlocal structures. This energy-based approach to nonlocal structural stability is possible due to a positive-definite and thermodynamically consistent definition of deformation energy enabled by the fractional-order kinematic formulation. Then, the Rayleigh-Ritz coefficient for the critical load is derived for linear buckling conditions. The fractional-order formulation is finally used to determine critical buckling loads of slender nonlocal beams and plates using a dedicated fractional-order finite element solver. Results establish that, in contrast to existing studies, the effect of nonlocal interactions is observed on both the material and the geometric stiffness, when using the fractional-order kinematics approach. We support these observations quantitatively with the help of case studies focusing on the critical buckling response of fractional-order nonlocal slender structures, and qualitatively via direct comparison of the fractional-order approach with the classical nonlocal approaches.

研究动机与目标

• 基于分数阶连续介质理论，开发一种热力学一致、基于能量的非局部固体稳定性分析框架。
• 解决经典非局部弹性模型在稳定性分析中存在的一些局限性，如不适定性与热力学不一致性。
• 通过捕捉非局部效应在材料刚度和几何刚度上的双重影响，实现细长结构临界屈曲载荷的精确预测。
• 通过梁和板的案例研究，展示分数阶模型相较于经典积分与微分非局部模型的优越性。

提出的方法

• 利用空间分数阶导数建立几何非线性分数阶运动学关系，以模拟非局部相互作用。
• 应用拉格朗日-狄利克雷定理，为分数阶非局部结构建立基于能量的稳定性准则。
• 基于分数阶公式推导线性屈曲条件下临界屈曲载荷的里兹法表达式。
• 开发一种分数阶有限元求解器，用于数值求解梁和板的特征值问题。
• 利用从分数阶运动学导出的正定变形能密度，确保热力学一致性。
• 与经典非局部模型（Eringen的积分与微分公式）进行对比，突出其在刚度修正方面的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用分数阶微积分，为非局部固体建立一种热力学一致、基于能量的稳定性分析？
• RQ2 与经典非局部模型相比，分数阶模型在多大程度上同时修改了材料刚度和几何刚度？
• RQ3 当材料刚度和几何刚度均受非局部性影响时，非局部性对细长梁和板临界屈曲载荷有何影响？
• RQ4 分数阶公式如何解决经典非局部弹性理论中存在的不适定性与热力学不一致性？

主要发现

• 分数阶公式能够实现正定且热力学一致的变形能密度，使基于能量的稳定性分析成为可能。
• 在分数阶模型中，非局部效应同时降低了材料刚度 [K^b] 和几何刚度 [G^b]，而经典模型仅影响其中一项。
• 参数研究显示，增加非局部性会同时降低两项刚度，对临界屈曲载荷产生竞争性影响。
• 与经典局部弹性相比，分数阶模型预测的临界载荷更低，与非局部行为的实验观测结果一致。
• 与Eringen的积分模型相比，分数阶模型避免了不适定性，并在纯非局部极限下仍能保证适定且自伴的算子。
• 非局部弹性微分模型仅修改几何刚度 [G^b]，而分数阶模型同时修改 [K^b] 和 [G^b]，从而更全面地表征非局部效应。