[论文解读] Fractional Schrödinger-Poisson systems with a general subcritical or critical nonlinearity

Jianjun Zhang, João Marcos do Ó+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用 13

一句话总结

本文在不依赖 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的前提下，建立了具有广义次临界或临界非线性项的分数阶薛定谔-泊松系统的正径向解的存在性。通过摄动方法与变分法，证明了当 $\lambda > 0$ 足够小时，解存在，并且当 $\lambda \to 0$ 时收敛于极限分数阶标量场方程的基态解。该结果将先前的研究扩展到了更广泛的非线性项与分数阶算子类别。

ABSTRACT

We consider a fractional Schrödinger-Poisson system with a general nonlinearity in subcritical and critical case. The Ambrosetti-Rabinowitz condition is not required. By using a perturbation approach, we prove the existence of positive solutions. Moreover, we study the asymptotics of solutions for a vanishing parameter.

研究动机与目标

• 建立具有广义次临界或临界非线性项的分数阶薛定谔-泊松系统非平凡正径向解的存在性。
• 消除对 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的依赖，该条件在变分处理此类系统时常被假设。
• 分析当参数 $\lambda \to 0^+$ 时解的渐近行为，证明其收敛于极限分数阶标量场方程的基态解。
• 将先前关于分数阶薛定谔-泊松系统的结果推广至更一般的非线性项与分数阶阶数。

提出的方法

• 采用摄动方法处理具有广义非线性项的分数阶薛定谔-泊松系统，避免对 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的依赖。
• 在分数阶 Sobolev 空间 $H^s(\mathbb{R}^3)$ 与泊松势的函数空间 $\mathcal{D}^{t,2}(\mathbb{R}^3)$ 框架下使用变分方法。
• 通过一族路径 $\Upsilon_\lambda$ 定义一个极小极大值 $C_\lambda^1$，以定位能量泛函的临界点。
• 通过 $\lambda \to 0^+$ 的极限分析，应用紧致性论证与梯度估计，依赖于在 $H^s(\mathbb{R}^3)$ 中的收敛性。
• 利用 Pohozāev 恒等式与正则性结果，证明 Berestycki-Lions 条件的必要性，并确保收敛至基态解。
• 通过集中紧致性原理与弱收敛性论证，在临界情形下建立一致有界性与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有广义次临界或临界非线性项的分数阶薛定谔-泊松系统是否在不依赖 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的前提下存在正径向解？
• RQ2 当耦合参数 $\lambda \to 0^+$ 时，解的渐近行为如何？
• RQ3 分数阶阶数 $s$ 与 $t$ 之间的相互作用如何影响解的存在性？
• RQ4 当 $\lambda \to 0^+$ 时，极限分数阶标量场方程的基态解是否可被恢复？
• RQ5 在分数阶设定下，非线性项 $g(u)$ 需满足何种条件，才能保证解的存在性与紧致性？

主要发现

• 当 $\lambda \in (0, \lambda_0)$ 且 $\lambda_0 > 0$ 时，在 Berestycki-Lions 条件 $(H1)$--$(H4)$ 与约束 $2t + 4s \geq 3$ 下，系统存在非平凡正径向解 $(u_\lambda, \phi_\lambda)$。
• 当 $\lambda \to 0^+$ 时，沿某一子列，$(u_\lambda, \phi_\lambda)$ 在 $H^s(\mathbb{R}^3) \times \mathcal{D}^{t,2}(\mathbb{R}^3)$ 中收敛于 $(u, 0)$，其中 $u$ 是极限方程 $(-\Delta)^s u = g(u)$ 的径向基态解。
• 与能量泛函相关的极小极大值 $C_\lambda^1$ 满足 $\lim_{\lambda \to 0^+} C_\lambda^1 = m$，其中 $m$ 是极限方程的最小能量水平。
• 当 $\lambda > 0$ 足够小时，能量泛函的梯度满足 $\|\Gamma_\lambda'(u)\|_s \geq \omega_1 > 0$，在某些下水平集上成立，从而保证了 Palais-Smale 序列的存在性。
• 当 $\lambda \to 0^+$ 时，解 $u_\lambda$ 在 $H^s(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛于非平凡极限 $u_1 \in S_1$，前提是 $d > 0$ 足够小。
• 临界情形通过极小极大方案与集中紧致性原理处理，实现了紧致性，从而在极限下得到非平凡解。