[论文解读] Fractional Stability

Vasily E. Tarasov|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2007

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文通过使用源自Caputo导数的分数阶变分，提出了一种动力系统分数阶稳定性的新概念。通过以分数阶扰动重新定义稳定性，表明在经典Lyapunov准则下不稳定的系统在分数阶变化下可能表现出渐近稳定性，从而将稳定性分析的适用范围扩展至非整数阶动力系统。

ABSTRACT

A fractional generalization of variations is used to define a stability of non-integer order. Fractional variational derivatives are suggested to describe the properties of dynamical systems at fractional perturbations. We formulate stability with respect to motion changes at fractional changes of variables. Note that dynamical systems, which are unstable "in sense of Lyapunov", can be stable with respect to fractional variations.

研究动机与目标

• 通过引入变分和稳定性的分数阶推广，拓展经典稳定性理论。
• 解决Lyapunov稳定性在表征具有长程或分形样动力学的系统时的局限性。
• 通过系统变量的分数阶变化定义稳定性，使具有非整数阶扰动响应的系统分析成为可能。
• 证明分数阶稳定性可捕捉在标准Lyapunov分析中被认为不稳定的系统中的稳定行为。

提出的方法

• 使用Caputo分数阶导数，通过表达式 δ^αf(x) = [δx]^α · C D^α_x f(x) 定义阶数为 α（m−1 < α ≤ m）的分数阶变分。
• 通过对系统的微分方程应用分数阶变分，推导出分数阶变分的运动方程，得到 D^1_t δ^αx_i = C D^α_x_j F_i(x) [δx_j]^α。
• 利用坐标Caputo导数的逆，将变分的分数幂 [δx_j]^α 表示为分数阶变分 δ^αx_j 的形式：[δx_j]^α = (C D^α_x_j x_j)^{-1} δ^αx_j。
• 将系统转化为线性矩阵微分方程：D^1_t Z(t) = A_α Z(t)，其中 Z(t) 为分数阶变分的向量，A_α 为分数阶变分导数的矩阵。
• 通过 A_α 的特征值定义稳定性：当所有特征值的实部为负时，系统为渐近稳定。
• 基于分数阶变分矩阵 A_α 的特征值实部符号，建立新的稳定性准则，将Lyapunov稳定性推广至非整数阶。

实验结果

研究问题

• RQ1 在经典Lyapunov稳定性下不稳定的动力系统，是否可能在分数阶变分下稳定？
• RQ2 如何利用Caputo导数在动力系统中数学定义分数阶变分？
• RQ3 分数阶变分在常微分方程组中的微分方程形式为何？
• RQ4 系统在分数阶变分下的稳定性与在整数阶变分下的稳定性有何不同？
• RQ5 当 α = 1 时，分数阶稳定性理论是否能涵盖经典Lyapunov稳定性作为特例？

主要发现

• 分数阶稳定性通过来自分数阶变分导数的矩阵 A_α 的特征值定义，当所有特征值的实部为负时，系统为渐近稳定。
• 若 lim_{t→∞} ||δ^αx(t,α)|| = 0，则系统关于分数阶变分为渐近稳定，其性质由 A_α 的谱特性决定。
• 即使系统在Lyapunov稳定性下不稳定（例如线性化后具有正实部），若 A_α 的特征值实部全为负，该系统仍可在分数阶变分下实现渐近稳定。
• 分数阶变分 δ^αx_i 表示为 δ^αx_i = [δx_i]^α · C D^α_x_i x_i，将分数阶变分与坐标的分数阶导数联系起来。
• 矩阵 A_α(α) = (C D^α_x_j x_j)^{-1} C D^α_x_j F_i(x) 完全决定了分数阶变分的演化，从而决定了系统的稳定性行为。
• 分数阶稳定性推广了经典稳定性：当 α = 1 时，分数阶稳定性条件退化为标准Lyapunov稳定性条件。