[论文解读] Fragmentability and representations of flows

Michael Megrelishvili|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2004

Advanced Banach Space Theory参考文献 48被引用 30

一句话总结

本文引入Asplund函数作为弱几乎周期函数的推广，将其与Asplund空间和自反Banach空间中流的表示联系起来。通过使用可碎片化性作为统一工具，将等度连续性推广，并证明：一个流是弱几乎周期的，当且仅当它具有足够多的自反表示。特别地，当对偶空间是NP（Namioka-Phelps）空间时，证明了在某些条件下轨道上的弱拓扑与强拓扑一致。

ABSTRACT

Our aim is to study weak star continuous representations of semigroup actions into the duals of ``good'' (e.g., reflexive and Asplund) Banach spaces. This approach leads to flow analogs of Eberlein and Radon-Nikodym compacta and a new class of functions (Asplund functions) which intimately is connected with Asplund representations and includes the class of weakly almost periodic functions. We show that a flow is weakly almost periodic iff it admits sufficiently many reflexive representations. One of the main technical tools in this paper is the concept of fragmentability (which actually comes from Namioka and Phelps) and widespreadly used in topological aspects of Banach space theory. We explore fragmentability as ``a generalized equicontinuity'' of flows. This unified approach allows us to obtain several dynamical applications. We generalize and strengthen some results of Akin-Auslander-Berg, Shtern, Veech-Troallic-Auslander and Hansel-Troallic. We establish that frequently, for linear G-actions, weak and strong topologies coincide on, not necessarily closed, G-minimal subsets. For instance such actions are ``orbitwise Kadec``.

研究动机与目标

• 研究半群作用在自反和Asplund Banach空间对偶空间中的弱∗连续表示。
• 定义并分析Asplund函数作为弱几乎周期函数的自然推广。
• 通过自反表示刻画弱几乎周期流。
• 探讨可碎片化性作为动力系统中广义等度连续条件的作用。
• 确定在何种条件下弱拓扑与强拓扑在线性群作用的轨道上一致，特别是在Asplund空间和NP空间中。

提出的方法

• 使用可碎片化性（最初由Namioka和Phelps提出）作为拓扑工具，推广流中的等度连续性。
• 应用Davis、Figiel、Johnson和Pelczynski的对偶性与因式分解技术，经由Lima、Nygaard和Oja的等距版本进行调整。
• 引入Asplund子集，作为Stegall对偶框架中Asplund空间里弱紧集的替代。
• 利用Namioka-Phelps（NP）空间条件，确保在对偶空间的轨道上弱∗拓扑与强拓扑一致。
• 分析表示的矩阵系数，将函数类（WAP、Asplund、LUC）与群作用的拓扑性质联系起来。
• 应用Kadec性质，刻画在对偶空间中G-轨道上弱∗拓扑与强拓扑一致的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下一个流具有自反表示，这与弱几乎周期性有何关联？
• RQ2 在Banach空间表示的背景下，Asplund函数如何推广弱几乎周期函数？
• RQ3 在对偶Banach空间中，线性群作用的轨道上，弱∗拓扑与强拓扑在何种条件下一致？
• RQ4 可碎片化性在何种意义上是流的广义等度连续形式？
• RQ5 NP（Namioka-Phelps）空间在确保对偶群作用的联合连续性中起什么作用？

主要发现

• 一个流是弱几乎周期的，当且仅当它具有足够多的自反表示。
• 每个弱几乎周期流都是Eberlein流的子直积，推广了文献中已知的结果。
• Asplund函数被表征为进入Asplund空间的表示的矩阵系数，扩展了WAP函数的理论。
• 对于Asplund Banach空间，若原始作用是联合连续且有界的，则群的对偶作用是联合连续的。
• 在NP空间中，对于等度连续群作用的轨道，弱∗拓扑与强拓扑一致，这意味着轨道是Kadec子集。
• Asplund函数类严格包含WAP函数类，且包含于左、右一致连续函数的交集中。