[论文解读] Free boundary minimal surfaces: a nonlocal approach

Alessandro Pigati, Francesca Da Lio|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用 13

一句话总结

本文通过映射到 $C^k$-光滑闭子流形 $\mathcal{N} \subset \mathbb{R}^m$ 的 $\frac{1}{2}$-次调和映射，提出了一种非局部方法来研究自由边界极小曲面。该研究证明了此类映射是通过调和延拓定义的非局部能量泛函的临界点，并建立了 $C^{k-1,\delta}$ 正则性（$\delta \in (0,1)$），将其与 $\mathcal{N}$ 上的分支极小浸入及自由边界联系起来。其主要贡献在于利用交换子估计与分数阶 Sobolev 空间，建立了 $\frac{1}{2}$-次调和映射的正则性理论。

ABSTRACT

Given a $C^k$-smooth closed embedded manifold $\mathcal N\subset{\mathbb R}^m$, with $k\ge 2$, and a compact connected smooth Riemannian surface $(S,g)$ with $\partial S eq\emptyset$, we consider $\frac 12$-harmonic maps $u\in H^{1/2}(\partial S,\mathcal N)$. These maps are critical points of the nonlocal energy \begin{equation}E(f;g):=\int_S\big| abla\widetilde u\big|^2\,d ext{vol}_g,\end{equation} where $\widetilde u$ is the harmonic extension of $u$ in $S$. We express the energy as a sum of the $\frac 12$-energies at each boundary component of $\partial S$ (suitably identified with the circle $\mathcal S^1$), plus a quadratic term which is continuous in the $H^s(\mathcal S^1)$ topology, for any $s\in\mathbb R$. We show the $C^{k-1,δ}$ regularity of $\frac 12$-harmonic maps. We also establish a connection between free boundary minimal surfaces and critical points of $E$ with respect to variations of the pair $(f,g)$, in terms of the Teichmüller space of $S$.

研究动机与目标

• 通过映射到闭的 $C^k$-光滑子流形 $\mathcal{N} \subset \mathbb{R}^m$ 的 $\frac{1}{2}$-次调和映射，建立自由边界极小曲面的非局部变分框架。
• 分析能量泛函 $E(f;g) = \int_S |\nabla \widetilde{u}|^2 \, d\text{vol}_g$，其中 $\widetilde{u}$ 是 $u \in H^{1/2}(\partial S, \mathcal{N})$ 的调和延拓，并将其分解为边界上的 $\frac{1}{2}$-能量与一个在 $H^s(\mathcal{S}^1)$ 中连续的二次项。
• 证明 $\frac{1}{2}$-次调和映射在 $\delta \in (0,1)$ 下的 $C^{k-1,\delta}$ 正则性，将正则性结果从经典情形推广。
• 通过满足正交边界条件的调和延拓，建立 $\frac{1}{2}$-次调和映射与 $\mathcal{N}$ 上具有自由边界的分支极小浸入之间的几何对应关系。
• 将 $E$ 的临界点与曲面 $S$ 的 Teichmüller 空间几何联系起来，证明其在度量 $g$ 的共形变换下保持不变。

提出的方法

• 将 $\frac{1}{2}$-次调和映射定义为非局部能量 $E(f;g)$ 的临界点，利用 $u \in H^{1/2}(\partial S, \mathcal{N})$ 的调和延拓 $\widetilde{u}$。
• 将能量 $E(f;g)$ 分解为每个边界分支（同胚于 $\mathcal{S}^1$）上的 $\frac{1}{2}$-能量之和，加上一个在 $H^s(\mathcal{S}^1)$ 中对任意 $s \in \mathbb{R}$ 连续的二次项。
• 利用由条件 $\int_{\partial S} \frac{\partial \widetilde{u}}{\partial \nu} \cdot v \, d\text{vol}_g = 0$ 对所有满足 a.e. $v \in T_u\mathcal{N}$ 的 $v \in L^\infty \cap H^{1/2}$ 导出的欧拉-拉格朗日方程，得到 $P^T(u) \frac{\partial \widetilde{u}}{\partial \nu} = 0$ 在 $\mathcal{D}'(\partial S)$ 中成立。
• 应用 Riesz 变换与分数阶拉普拉斯算子的交换子估计，控制 $\nabla w$ 的正则性，其中 $w$ 满足投影方程 $P^T(w)(-\Delta)^{1/2}w = h$。
• 利用 Littlewood–Paley 分解与分数阶 Sobolev 空间 $H^{s,p}$ 进行正则性提升，证明对所有 $1 < p < \infty$，$\epsilon > 0$，有 $w \in \bigcap_{\gamma > 1/p} H^{k-1/p - \epsilon, p}_{\text{loc}}(\mathbb{R})$。
• 应用推论 B.7，得出对所有 $\delta \in (0,1)$，有 $u \in C^{k-1,\delta}_{\text{loc}}(\partial S)$，若 $\mathcal{N}$ 为 $C^\infty$-光滑，则 $u$ 为 $C^\infty$-光滑。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于调和延拓的非局部能量泛函，重新表述自由边界极小曲面的理论？
• RQ2 在具有边界的紧曲面上，$\frac{1}{2}$-能量的精确分解是什么？它与边界上 $H^s$-拓扑有何关系？
• RQ3 当 $\mathcal{N}$ 为 $C^k$-光滑时，$\frac{1}{2}$-次调和映射 $u \in H^{1/2}(\partial S, \mathcal{N})$ 继承了哪些正则性性质？
• RQ4 $\frac{1}{2}$-次调和映射如何与 $\mathcal{N}$ 上的分支极小浸入及自由边界相关联？调和延拓在此中起什么作用？
• RQ5 能量 $E(f;g)$ 如何依赖于度量 $g$ 的共形类？这与曲面 $S$ 的 Teichmüller 空间有何关联？

主要发现

• 能量 $E(f;g)$ 可分解为各边界分支上的 $\frac{1}{2}$-能量之和与一个在任意 $s \in \mathbb{R}$ 的 $H^s(\mathcal{S}^1)$ 中连续的二次项，从而实现对边界贡献的精确分析。
• $\frac{1}{2}$-次调和映射是 $E(f;g)$ 的临界点当且仅当在 $\mathcal{D}'(\partial S)$ 中有 $P^T(u) \frac{\partial \widetilde{u}}{\partial \nu} = 0$，这刻画了自由边界条件。
• 一个 $\frac{1}{2}$-次调和映射的调和延拓 $\widetilde{u}$ 是共形的（除孤立点外），因此它在 $\mathcal{N}$ 中定义了一个具有自由边界的分支极小浸入。
• 通过交换子估计与分数阶 Sobolev 空间技术，建立了 $\frac{1}{2}$-次调和映射在所有 $\delta \in (0,1)$ 下的 $C^{k-1,\delta}$ 正则性。
• 解 $u$ 属于 $\bigcap_{\gamma > 1/p} H^{k-1/p - \epsilon, p}_{\text{loc}}(\mathbb{R})$，对所有 $1 < p < \infty$，$\epsilon > 0$，这蕴含对所有 $\delta \in (0,1)$，有 $C^{k-1,\delta}_{\text{loc}}$ 正则性。
• 若 $\mathcal{N}$ 为 $C^\infty$-光滑，则 $u$ 为 $C^\infty$-光滑，因为当目标流形的光滑性提高时，正则性也随之增强。